인천서구 인천초은고등학교 수학과외







결과만 맞고 근거식이 빠진 절댓값 서술형
인천초은고등학교 학생은 여러 조건이 함께 제시된 문제에서 절댓값 그래프의 꺾임과 직접 관련된 정보만 추려내려 했다. 조건을 함수의 연속성과 미분 가능성에 관한 부분으로 나눈 뒤, 불필요한 조건은 제외하고 핵심 판단에 필요한 내용만 남겼다.
처음에는 \(f(x)=|x|\)를 \(x=0\)에서 살펴보며 “연속이지만 미분 가능하지 않다”라고 결론을 적었다. 그러나 서술형 답안에는 왜 그런 결과가 나오는지 보여 주는 관계식이 없었다. 좌우에서 함수값은 모두 \(0\)으로 가까워진다는 점과 달리, 왼쪽 기울기와 오른쪽 기울기가 다르다는 연결이 빠져 논리가 중간에서 끊긴 것이다.
꺾임을 판단하는 두 기울기
교정 과정에서는 앞서 조건을 분류하던 방식을 사용하지 않고, 좌우 미분계수를 따로 계산해 같은 결론을 확인했다. \(f(x)=|x|\)에 대해
\[ \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{|h|}{h} \]
를 두고 \(h>0\)이면 값이 \(1\), \(h<0\)이면 값이 \(-1\)임을 확인했다. 따라서 좌우 미분계수가 서로 달라 \(x=0\)에서 미분 가능하지 않다. 한편 \(x\)가 \(0\)에 가까워질 때 \(|x|\)도 \(0=f(0)\)에 가까워지므로 연속성은 성립한다.
절댓값 그래프의 꼭짓점에서는 좌우 기울기가 달라질 수 있지만, 좌우 함수값이 같은 점으로 모이면 연속일 수 있다.
표현을 바꾼 새 문항에서 직접 세운 관계
이후에는 같은 식을 복사하지 않고, \(g(x)=|x-2|+1\)이 \(x=2\)에서 어떤 성질을 갖는지 판단하게 했다. 학생은 먼저 \(g(2)=1\)을 구하고, \(x\)가 \(2\)에 가까워질 때 \(|x-2|+1\)도 \(1\)에 가까워진다고 적어 연속성을 확인했다. 이어 \(x<2\)에서는 기울기가 \(-1\), \(x>2\)에서는 기울기가 \(1\)이므로 \(x=2\)에서 미분 가능하지 않다는 관계를 스스로 구성했다.
마지막에는 답의 범위를 다시 점검했다. 절댓값의 꺾임이 모든 점에서 나타나는 것이 아니라 \(x-2=0\), 즉 \(x=2\)에서만 발생한다는 점을 확인하고, 연속성의 근거와 좌우 기울기의 불일치를 각각 빠뜨리지 않은 채 최종 답안을 완성했다.