병방동 인천세원고등학교 수학과외
인천세원고등학교 학생은 앞 단계에서 얻은 결과를 별도 칸에 적은 뒤, 그 값을 다음 식과 연결하는 과정에서 중간값 존재 여부를 판단해야 했다. 계산 자체는 이어 갔지만 그래프와 표를 대조할 때 어느 위치의 함수값을 읽어야 하는지 확신하지 못해, 이후 식에 들어가는 값이 처음부터 어긋났다.
그래프의 한 칸을 잘못 읽어 생긴 중간값 판정 오류
문제의 핵심은 두 조건을 구분하는 데 있었다. 하나는 해당 구간에서 함수가 연속인지 확인하는 것이고, 다른 하나는 목표값이 양 끝 함수값 사이에 놓이는지 살피는 것이다. 학생은 표의 입력값과 함수값 위치를 바꾸어 읽으면서, 실제로 비교해야 할 값이 아닌 숫자를 다음 계산에 넘겼다.
구간에서의 연속성과 목표값의 위치는 서로 다른 조건이므로, 먼저 따로 확인한 뒤 함께 판단해야 한다.
연속성 조건과 값의 범위를 분리해 확인하기
교정할 때는 풀이 칸을 둘로 나누었다. 첫 칸에는 “이 구간에서 함수가 연속인가”를 적고, 둘째 칸에는 양 끝점의 함수값과 목표값을 나란히 기록하게 했다. 예를 들어 연속함수 f가 [a,b]에서 연속이고 목표값 k가 f(a)와 f(b) 사이에 있으면, 어떤 c가 [a,b]에 존재하여 f(c)=k가 된다는 식으로 조건과 결론을 분리했다.
학생은 같은 자료를 다시 읽으면서 표의 가로축은 입력값, 세로축은 함수값이라는 점을 표시했다. 그 뒤 f(a), f(b)를 정확히 골라 목표값과 비교하자, 이전에는 한 칸 밀려 기록했던 이유와 그로 인해 뒤의 계산값이 모두 달라진 과정이 드러났다.
표현을 바꾼 함수에서 직접 조건을 세운 과정
이후에는 앞의 식을 그대로 복사하지 않고, 한 조건만 유지한 새 문항을 풀었다. 연속이라는 조건은 그대로 둔 채 그래프 대신 다른 관계식과 새로운 구간을 제시하자 학생은 먼저 양 끝점의 함수값을 계산하고 목표값이 그 사이에 포함되는지 직접 판정했다. 연속성만 확인하고 결론을 내리지 않고, 목표값의 범위까지 확인해야 한다는 점을 풀이 순서에 반영한 것이다.
마지막에는 자신이 세운 결론에 반례가 될 상황이 있는지 점검했다. 연속성이 빠진 경우나 목표값이 양 끝 함수값 사이에 놓이지 않는 경우를 따로 대조해 보면서, 두 조건 중 하나라도 충족되지 않으면 중간값 존재를 바로 결론 내릴 수 없음을 확인했다. 이를 통해 그래프나 표의 위치를 읽는 단계부터 조건을 분리해 판단하는 방식이 정착되었다.
병방동의 광명아파트와 뉴서울아파트 인근에서 수업을 이어 가는 동안에도, 학생은 식을 계산하기 전에 구간의 연속성과 목표값의 위치를 각각 표시하는 습관을 유지했다.