부평구 인천상정고등학교 수학과외
대입 순서가 바뀌자 적분식 전체가 달라진 순간
인천상정고등학교 학생은 갈산동에서 진행한 수학과외 시간에 부분적분을 이용해 조건이 하나 달라진 두 적분의 결과를 비교하고 있었다. 계산 옆에는 ‘각 항의 역할 확인’이라는 메모를 남겼지만, 조건이 바뀌는 지점에서 처음 정한 역할을 그대로 유지하지 못해 풀이를 다시 시작했다.
u와 dv를 바꾸어 적은 뒤 생긴 허용되지 않는 결과
학생은 ∫x ex dx를 풀면서 처음에는 u=x, dv=exdx로 둘 수 있었다. 그러면 du=dx, v=ex이므로
∫u dv = uv − ∫v du
에 따라 xex−∫exdx=ex(x−1)+C가 된다.
그런데 학생은 다음 줄에서 대입 순서를 바꾸어 u=ex, dv=x dx라고 적은 뒤, v를 구하는 과정과 남은 적분을 점검하지 않고 앞의 계산 구조를 적용했다. 결과 옆에 확인 메모는 있었지만, 그 메모가 ‘어떤 항을 미분할지’와 ‘어떤 항을 적분할지’를 결정하는 기준까지 보장하지는 못했다.
값을 지우는 대신 반례로 역할을 점검한 과정
교정에서는 잘못된 답을 바로 삭제하지 않고, 그 식을 미분해 원래 적분함수로 돌아오는지 확인했다. 올바른 결과인 ex(x−1)을 미분하면 xex가 되지만, 역할을 잘못 배치해 얻은 식은 같은 함수로 되돌아가지 않았다. 학생은 이 반례를 통해 공식 자체의 순서가 문제가 아니라, u와 dv를 먼저 정하고 그에 맞춰 du와 v를 구해야 한다는 점을 확인했다.
이후에는 계산 전에 네 칸을 나누어 u, dv, du, v를 적었다. 조건이 바뀐 문제에서는 이전 메모를 복사하지 않고, 새 적분에서 미분할 항과 적분할 항을 다시 선택한 뒤 공식에 대입했다.
선택지 없이 끝까지 정한 새 적분
마지막에는 정답 후보가 제시되지 않은 ∫x cos x dx를 스스로 처리했다. 학생은 u=x, dv=cos x dx로 정해 du=dx, v=sin x를 얻었고,
∫x cos x dx=x sin x−∫sin x dx=x sin x+cos x+C
로 마무리했다. 마지막 검증에서는 이 결과를 미분해 x cos x가 나오는지 확인했다. 조건과 항의 형태가 달라져도 역할을 먼저 정하고, 그 역할에 맞는 대입과 미분 검산을 이어 가면 예외 없이 같은 공식이 성립한다는 점까지 스스로 설명할 수 있었다.