가좌동 가림고등학교 수학과외







후보는 줄였지만, 최댓값과 최솟값의 차이를 끝까지 확인하지 못한 경우
가좌동에서 수학 과외를 받는 한 학생은 함수 문제의 선택지를 검토하며 먼저 각 후보가 조건에 맞는지 계산하는 습관을 만들고 있었습니다. 문제의 핵심은 함수의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때 M-m이 주어진 값과 같아야 한다는 것이었습니다.
학생은 답을 고르기 전에 후보별로 “최댓값-최솟값”을 계산하는 한 줄을 추가했습니다. 덕분에 조건에 맞지 않는 선택지는 빠르게 제외했지만, 마지막 두 후보 중 하나가 남았을 때는 계산 결과만 보고 결론을 확정했습니다. 실제로는 조건에 맞아 보이는 후보에도 다른 값에서 조건을 깨는 반례가 있었는데, 그 가능성을 확인하지 않은 것이 오류의 시작이었습니다.
차이값이 같다는 사실만으로 후보를 확정할 수 없었던 장면
교정할 때는 최댓값과 최솟값을 각각 찾은 뒤 차이를 계산하는 데서 멈추지 않고, 그 값이 함수 전체의 범위에서 성립하는지 다시 살폈습니다. 특정 지점의 함수값만 비교해 M-m을 판단하지 않도록 정의된 범위와 양 끝값, 내부에서 나타나는 극값을 함께 표시했습니다.
또한 학생에게 같은 조건을 다른 말로 바꾸어 설명하게 했습니다. “함수값들이 놓인 범위의 길이가 주어진 값이다” 또는 “가장 큰 함수값에서 가장 작은 함수값을 뺀 결과가 조건의 수와 같다”라고 정리하면서, 단순히 계산 순서만 외운 것이 아니라 조건의 의미를 확인했습니다.
최댓값과 최솟값의 차가 c라는 말은 함수값의 전체 범위가 [m, M]일 때 M-m=c라는 뜻이다.
선택지를 없앤 뒤 스스로 세운 검산 순서
이후에는 표현 방식이 달라진 새 문항을 제시했습니다. 선택지에서 답을 고르는 대신 학생이 먼저 함수의 최댓값과 최솟값을 정하고, 두 값의 차이가 주어진 조건과 맞는지 확인한 뒤, 남은 후보가 다른 함수값에서도 조건을 만족하는지 검산하도록 했습니다.
학생은 이번에는 후보를 줄이는 계산과 최종 결론을 분리했습니다. 먼저 M과 m을 구하고 M-m을 계산한 다음, 조건을 만족한다고 판단한 후보에 반례가 있는지 점검했습니다. 마지막에는 “최댓값과 최솟값의 차가 주어진 수와 같아야 하며, 한 지점의 계산만으로는 전체 조건을 확정할 수 없다”고 수치 없이 일반 원리로 설명했습니다.