달성군 현풍고등학교 수학과외
분모의 제곱근을 보기 전에 멈춘 이유
달성군 현풍고등학교 수학 과외에서 한 학생은 분모에 제곱근이 포함된 조건 문제를 만났다. 식을 빠르게 계산해 답을 예상하기보다, 먼저 해당 식이 정의되려면 어떤 값이 허용되는지 확인해야 하는 문항이었다.
학생은 분모에 있는 제곱근의 안쪽을 중간값으로 따로 두고 조건을 세웠다. 예를 들어 분모가 √(x-2)라면 제곱근 안의 값만 0 이상이면 되는 것이 아니라, 분모 전체가 0이 될 수 없으므로 x-2>0, 즉 x>2로 판단해야 한다.
후보를 찾았지만 반례를 놓친 선택지
처음에는 이 기준으로 선택지를 좁히면서 오류 가능성을 줄였다. 그러나 한 후보가 조건을 만족하는 것처럼 보이자, 그 후보가 모든 경우에 맞는지 확인하지 않고 정답으로 확정했다. 특히 경계값이나 조건을 만족하지 않는 값을 하나 대입해 보는 반례 검토가 빠져 있었다.
교정할 때는 조건을 단순히 외우게 하지 않고, “제곱근 안은 0 이상이어야 하지만 그 값이 분모에 있으므로 0은 허용되지 않는다”라고 다른 표현으로 설명하게 했다. 이어 √(3x+1)이 분모에 있다면 3x+1>0이어야 한다는 식으로, 계산 결과가 아니라 분모가 0이 되지 않아야 한다는 이유를 말하게 했다.
분모의 제곱근은 안쪽이 0 이상인 것만으로 부족하며, 분모가 0이 되지 않도록 제곱근 안쪽이 반드시 양수여야 한다.
표현을 바꾼 새 조건에서 확인한 판단
이후에는 이전 식을 그대로 다시 쓰지 않고, 분모가 √(5-2x)인 새로운 관계식을 제시했다. 학생은 먼저 5-2x>0을 세워 x<5/2라고 정리한 뒤, 경계값 x=5/2를 대입하면 분모가 0이 된다는 점을 직접 확인했다.
마지막에는 선택지에 의존하지 않고 후보의 경계값과 조건 밖의 값을 각각 점검했다. 조건 밖의 값은 제곱근 자체가 정의되지 않거나, 경계값은 분모를 0으로 만들기 때문에 사용할 수 없다는 사실을 확인하면서 반례가 남아 있지 않은지 검증했다.