대구중구 신명고등학교 수학과외
전개보다 먼저 확인한 합성함수의 대응 순서
대구중구에서 수학 과외를 받던 신명고등학교 학생은 합성함수 문항을 만나면 식을 먼저 전개하려는 습관이 있었습니다. 이번 문제는 함수식의 전개보다 함수표와 대응관계를 이용해 값을 읽는 편이 훨씬 간단한 유형이었습니다.
중간값과 최종값을 한 줄에 섞어 쓴 풀이
학생은 풀이 중간에 필요한 값을 따로 적기는 했습니다. 예를 들어 g(a)=b를 확인한 뒤 다시 f(b)를 찾아야 하는데, 계산 결과와 표에서 확인해야 할 값을 같은 줄에 이어 쓰면서 무엇을 먼저 판단했는지 드러나지 않았습니다. 특히 f(g(a))에서 바깥 함수의 입력이 실제로 g(a)가 되는 점과, 그 값이 f의 대응 범위에서 허용되는지를 구분하지 못했습니다.
합성값은 안쪽 함수의 결과를 먼저 구하고, 그 결과가 바깥 함수에 입력될 수 있는지 확인한 뒤 다음 대응값을 찾는다.
두 조건을 별도 칸으로 나누어 읽은 과정
교정할 때는 표를 보며 확인할 내용을 두 칸으로 분리했습니다. 첫 번째 칸에는 안쪽 함수에서 얻은 중간값을, 두 번째 칸에는 그 중간값을 바깥 함수에 넣었을 때의 대응값을 기록했습니다. 예를 들어 표에서 g(2)=3을 찾았다면 곧바로 답으로 쓰지 않고, 먼저 3이 f에 입력 가능한 값인지 확인한 다음 f(3)을 찾도록 했습니다.
이렇게 하자 단순히 숫자를 계산하는 것과 합성함수가 성립하기 위한 입력 조건을 확인하는 일이 서로 다른 단계라는 점이 풀이에 표시되었습니다. 조건을 만족하지 않으면 그 다음 대응값을 찾을 수 없다는 점도 함께 비교했습니다.
선택지 없이 끝까지 구성한 합성값
이후에는 정답 후보가 제시되지 않은 새 문항을 사용했습니다. 학생은 먼저 대응표에서 안쪽 함수의 값을 찾고, 그 값을 바깥 함수의 입력으로 사용할 수 있는지 확인한 뒤 최종값을 기록했습니다. 마지막에는 처음 찾은 중간값을 다시 표의 입력 위치와 대조해 계산 순서가 뒤바뀌지 않았는지 검산했습니다.
검증 단계에서 학생은 합성값이 성립하려면 안쪽 함수의 결과가 바깥 함수의 정의역에 들어가야 하며, 그 뒤에야 바깥 함수의 대응값을 읽을 수 있다고 설명했습니다. 계산 결과만 제시하던 풀이에서 벗어나 성립 조건과 대응 순서를 스스로 점검하는 풀이로 바뀐 장면이었습니다.