만촌동 대구혜화여자고등학교 수학과외

끝점보다 바깥에 놓인 꼭짓점, 구간 안에서의 최댓값과 최솟값

만촌동에서 대구혜화여자고등학교 내신 문제를 풀던 학생은 이차함수의 꼭짓점만 찾으면 최솟값이나 최댓값을 바로 결정할 수 있다고 생각했다. 그러나 이번 문제에서는 꼭짓점의 좌표가 주어진 구간에 포함되지 않아, 구간 안의 두 끝점을 함께 살펴봐야 했다.

꼭짓점의 위치를 구간과 나란히 놓아 본 과정

학생은 먼저 식을 완전제곱식으로 고쳐 꼭짓점의 x좌표를 구한 뒤, 문제의 제한 조건과 비교했다. 예를 들어 f(x)=x²-6x+5가 0≤x≤2에서 주어지면 꼭짓점의 x좌표는 3이다. 꼭짓점은 허용된 구간의 오른쪽에 있으므로 구간 안에서는 함수가 계속 감소한다.

처음에는 이 사실을 확인한 뒤에도 답이 원래 조건에 맞는지 보려고 계산 결과를 다시 대입했다. 이 검산으로 허용 범위를 벗어난 꼭짓점 값을 답으로 쓰는 실수는 피했지만, “꼭짓점이 구간 밖이므로 끝점을 비교한다”는 이유를 말로 설명할 때는 문장이 모호했다.

값보다 먼저 적어야 했던 감소 관계

서술형 풀이에서 학생은 끝점의 함수값을 계산해 최솟값과 최댓값을 적었지만, 그 결론에 이르는 관계식을 빠뜨렸다. 따라서 f(0)과 f(2)의 값을 제시하고도 왜 어느 쪽이 큰지 설명이 끊겨 있었다.

교정할 때는 앞서 하던 단순 대입 검산을 사용하지 않고, 꼭짓점과 구간의 위치 관계에서 출발하게 했다. x=3이 [0,2]의 오른쪽에 있으므로 0≤x≤2에서 함수가 감소한다는 문장을 먼저 쓴 다음, f(0)=5, f(2)=-3을 계산했다. 그러면 최댓값은 5, 최솟값은 -3이라는 결론이 값의 나열이 아니라 감소 관계에 의해 설명된다.

꼭짓점이 제한 구간에 없으면, 꼭짓점의 함수값을 바로 선택하지 말고 구간 안에서의 변화 방향과 두 끝점의 값을 함께 확인해야 한다.

식과 조건을 바꾼 문제에서 다시 세운 판단

다음에는 이전 식을 복사하지 않고 g(x)=-x²+4x+1, 1≤x≤5라는 새로운 문제를 제시했다. 꼭짓점의 x좌표는 2로 구간 안에 있으므로 이번에는 끝점만 비교하는 상황이 아니었다. 학생은 먼저 꼭짓점이 허용 범위에 포함되는지 판정하고, 포함되면 꼭짓점과 끝점의 값을 비교해야 한다고 판단했다.

조건을 일부러 바꾸어 3≤x≤5로 제시하자 꼭짓점 x=2가 구간 왼쪽에 놓였다. 학생은 구간 안에서 함수가 감소한다는 관계를 세운 뒤 g(3)과 g(5)를 비교해 최댓값과 최솟값을 독립적으로 결정했다. 이전 문제의 숫자나 식을 가져오지 않고, 새로운 꼭짓점 위치에서 관계식을 직접 만든 점이 확인됐다.

답의 범위와 조건을 역순으로 점검한 마지막 장면

마지막에는 완성한 답에서 거꾸로 조건을 확인했다. 학생은 먼저 선택한 값이 실제로 주어진 구간의 끝점인지 살피고, 꼭짓점 값을 사용했다면 그 x좌표가 구간에 포함되는지도 따졌다. 이어 꼭짓점이 구간 밖일 때에는 왜 내부에서 함수가 한 방향으로 변하는지 설명한 뒤 끝점 비교로 결론이 이어지는지 확인했다.