대구서구 경덕여자고등학교 수학과외
제곱하기 전에 멈춰 세운 두 가지 조건
경덕여자고등학교 학생과의 수업에서 무리식 방정식의 변형 문항을 다루던 중, 학생은 식을 정리하고 계산하는 과정은 빠르게 이어 갔지만 양변을 제곱한 뒤 무엇을 확인해야 하는지는 스스로 정하지 못했다. 평리푸르지오와 서대구역 인근에서 이동해 수업에 참여하는 학생에게도 이번 학습의 핵심은 계산 속도보다 제곱으로 인해 해의 범위가 달라질 수 있다는 점이었다.
제곱한 뒤 생긴 값을 모두 답으로 고른 장면
예를 들어 √(x+1)=x-1을 풀 때 학생은 곧바로 양변을 제곱해 x+1=(x-1)²를 만들었다. 여기서 얻은 후보는 x=0, 3이었지만, 원래 식의 오른쪽 x-1은 제곱근과 같아야 하므로 음수가 될 수 없다. 따라서 제곱하기 전부터 x-1≥0, 즉 x≥1이라는 조건을 먼저 확보해야 했고, 후보 중 실제 해는 x=3뿐이었다.
학생이 멈춘 지점은 계산 결과를 얻은 다음이었다. 제곱근 안의 식이 정의되는 조건과, 제곱되는 상대편 식이 음수가 아니어야 한다는 조건을 구분하지 못해 두 조건을 한꺼번에 막연히 검산하고 있었다.
정의 조건과 제곱 전 부호 조건을 따로 적은 이유
교정할 때 두 조건을 별도 칸에 나누어 기록했다.
- 제곱근 안의 식이 실제로 계산될 수 있는지 확인한다.
- 양변을 제곱하기 전, 제곱근과 같아질 식이 0 이상인지 확인한다.
각 칸에 조건을 따로 적용한 뒤 제곱으로 얻은 후보를 원래 식에 대입하자, 왜 x=0이 탈락하는지 눈으로 확인할 수 있었다. 이후 학생은 답을 고르기 전에 조건을 먼저 적고, 제곱 뒤의 후보를 원래 식에 대입하는 한 줄을 풀이에 추가했다.
모양이 바뀐 식에서 조건을 다시 세운 적용
다음에는 이전 식을 복사하지 않고 √(2x-1)=3-x를 직접 풀게 했다. 학생은 먼저 2x-1≥0에서 x≥1/2를, 오른쪽 부호 조건에서 3-x≥0, 즉 x≤3을 세웠다.
그 범위 안에서 양변을 제곱하면 2x-1=(3-x)²이고 후보는 x=4±√6이다. 이 중 4+√6은 x≤3을 만족하지 않아 제외되고, 4-√6만 원래 조건에 남는다. 식의 모양과 수치가 달라졌지만 학생은 두 조건을 먼저 분리한 뒤 답의 범위를 좁혔다.
양변을 제곱하기 전에는 정의역과 상대편 식의 부호를 따로 확인해야 하며, 제곱 뒤의 후보는 반드시 원래 식의 조건으로 다시 걸러야 한다.
마지막으로 학생에게 풀이를 역순으로 설명하게 하지 않고, 오답이 생길 수 있는 첫 줄을 직접 표시하게 했다. 학생은 “양변 제곱 직전에 오른쪽 식이 0 이상인지 확인하지 않은 줄”을 지목했고, 그 조건을 제거하면 왜 무연근이 남는지도 x=0 사례로 설명했다. 계산 결과가 나온 뒤가 아니라 제곱하기 직전이 검산의 첫 지점이라는 판단이 정착된 순간이었다.