구포동 삼정고등학교 수학과외
역함수의 증가성을 어디에 써야 하는가
구포동에서 삼정고등학교 수학 과외를 진행하던 학생은 여러 단계로 이어지는 함수 문제를 풀며 풀이 순서를 먼저 번호로 정리했다. 함수의 관계식을 변형하고 범위를 정한 뒤, 역함수의 성질을 이용해 최종 대소 관계를 판단하는 구조였다.
학생은 역함수가 등장하는 지점을 확인한 뒤 “원래 함수가 증가함수이므로 역함수도 증가한다”는 판단을 3번 단계에 배치했다. 계산 자체는 중단하지 않고 이어 갔지만, 그 성질을 적용한 뒤 무엇을 확인해야 하는지는 분명히 정하지 못했다.
결과만 맞고 연결식이 빠진 서술형 답안
답안에는 역함수도 증가하므로 결과의 대소 관계가 유지된다고 적었지만, 그 결론이 나오기 직전의 관계식이 빠져 있었다. 예를 들어 원래 함수에서 x_1<x_2일 때 f(x_1)<f(x_2)임을 확인하고, 역함수에 대해서는 f^{-1}(f(x_1))<f^{-1}(f(x_2))로 연결해야 했다. 학생의 답안은 마지막 결과만 남아 있어 왜 그 부등식이 성립하는지 채점자가 따라가기 어려운 상태였다.
그래서 기존 계산 순서를 다시 반복하지 않고, 답을 거꾸로 추적하는 검산을 실시했다. 최종 범위와 조건에서 출발해 역함수의 입력이 어떤 원래 함수값에서 나온 것인지 확인하고, 두 입력의 대소 관계가 증가성에 의해 보존되는지 식으로 되짚었다. 이 과정에서 학생은 ‘역함수도 증가한다’는 문장만 쓰는 것이 아니라, 그 성질을 적용하기 직전의 관계식을 반드시 남겨야 한다는 점을 기록했다.
증가함수의 역함수는 입력의 대소 관계를 바꾸지 않으므로, 성질의 결론과 함께 그 결론으로 이어지는 관계식을 제시해야 한다.
표현을 바꾼 문항에서 범위까지 확인하기
다음에는 앞서 사용한 식을 보여 주지 않고, 조건 하나만 유지한 채 함수의 표현과 질문 방식을 바꾼 문항을 제시했다. 학생은 이전 풀이를 복사하지 않고 새 관계식을 직접 세운 뒤, 원래 함수의 증가 여부를 먼저 확인하고 역함수에 같은 증가성이 적용되는 지점을 찾아냈다.
마지막에는 답의 범위와 조건을 따로 점검했다. 역함수가 정의되는 구간을 벗어난 값이 포함되지 않았는지, 부등식의 방향이 바뀌지 않았는지, 최종 결론이 앞에서 세운 관계식과 같은 의미인지 역순으로 설명하게 했다. 이번에는 결과만 적지 않고 필요한 관계식을 함께 제시해 논리의 끊긴 부분 없이 답을 완성했다.