구포동 경혜여자고등학교 수학과외
경계값을 넣는 순간 달라진 증가·감소 판정
구포동에서 경혜여자고등학교 수학 문제를 풀던 학생은 함수의 변화 방향을 구간별로 나누는 문항에서 경계값을 먼저 대입해 결과가 달라지는지 비교했다. 구간을 나누는 절차 자체는 이어 갔지만, 계산한 증가와 감소의 결론이 어느 조건에서만 유효한지 확인하는 기준은 아직 세우지 못했다.
계산 결과보다 먼저 확인해야 했던 값
예를 들어 f(x)=1/(x-1)의 변화를 살필 때 학생은 경계가 되는 x=1을 양쪽 구간의 비교값처럼 사용하려 했다. 하지만 f(1)은 분모가 0이 되어 정의되지 않는다. 따라서 (-∞, 1)과 (1, ∞)에서 각각 감소한다고 판단할 수는 있어도, 두 구간을 하나로 이어 증가·감소를 말하거나 경계값의 함수값을 비교할 수는 없다.
교정할 때는 답을 지우고 다시 계산하게 하기보다, 경계값을 허용한다고 가정했을 때 생기는 반례를 직접 찾게 했다. f(0)=-1, f(2)=1이라는 값만 보면 전체적으로 증가한 것처럼 보이지만, 그 사이의 x=1에서 함수가 끊어진다. 이 사례를 통해 학생은 변화 방향의 판정뿐 아니라 해당 결론이 성립하는 구간과 정의역도 함께 확인해야 한다는 점을 점검했다.
증가·감소의 방향은 부호만 보는 결론이 아니라, 함수가 실제로 정의된 각각의 구간 안에서만 판단해야 한다.
식이 바뀌어도 경계 조건을 먼저 찾은 적용
이후에는 이전 식을 보지 않고 g(x)=2/(x+2)를 새로 제시했다. 학생은 먼저 x=-2에서 식이 정의되지 않음을 표시하고, 구간을 (-∞,-2)와 (-2,∞)로 나누었다. 각 구간에서 분모의 제곱이 양수라는 점을 이용해 변화 방향을 확인한 뒤, 경계값 자체를 증가·감소 판정에 포함하지 않았다.
마지막에는 계산을 반복하지 않고 “x=-2를 포함해도 되는가”를 먼저 판단하게 했다. 학생은 분모가 0이 되는 지점을 근거로 포함할 수 없다고 설명하고, 두 구간의 방향을 하나의 구간 결론으로 합치지 않았다. 이를 통해 구간별 방향과 적용되지 않는 경계 조건을 함께 구별하는지 확인했다.