동래구 동래고등학교 수학과외
동래구에서 진행한 한 서술형 로그 문항에서 학생은 서로 다른 밑을 가진 로그의 결론이 같은 의미인지 확인해야 했다. 처음에는 식들 사이에 연결되는 부분을 화살표로 표시했지만, 계산 결과와 그 결과를 가능하게 한 관계식을 구분하지 못했다.
결과는 맞았지만 연결식이 빠진 서술형
학생은 예를 들어 log₂7을 자연로그로 바꾸어 ln7/ln2라고 적었다. 그러나 다른 밑의 로그를 비교하는 과정에서 밑변환 공식인 logₐb = log_cb/log_ca를 먼저 제시하지 않아, 왜 두 표현이 같은 기준으로 바뀌는지 설명이 끊겼다. 답 자체보다 변환의 근거가 필요한 문항이었는데, 학생은 마지막 숫자나 식만 정답으로 남기려 했다.
교정할 때는 완성된 답을 보지 않고, 문제에서 주어진 밑과 진수, 사용할 공통 밑, 변환 결과를 한 줄씩 골라 적었다. 가령 log₄7은 ln7/ln4로, log₂7은 ln7/ln2로 바꾼 뒤, 두 식의 분모가 다르므로 곧바로 같은 값이라고 결론 내릴 수 없다는 점까지 확인했다. 단순히 밑을 바꾸는 것과 두 로그의 값이 같다는 판단을 분리한 것이다.
선택지 없이 밑을 정하고 끝까지 검산한 적용
새 문항에서는 정답 후보나 변환할 밑이 제시되지 않았다. 학생은 먼저 밑을 자연로그로 통일하고, 각 로그의 진수가 양수인지와 밑이 양수이면서 1이 아닌지를 확인한 다음 계산 순서를 스스로 정했다. 변환 뒤에는 원래 식에 다시 대입해 같은 값이 유지되는지 검산했다.
밑을 바꾼 뒤의 식이 같아 보이는지만 보지 말고, 밑변환 공식과 로그의 허용 조건을 함께 확인해야 한다.
마지막에는 밑을 10이 아닌 다른 공통 밑으로 바꾸어도 logₐb = log_db/log_da가 성립하는지 점검했다. 밑과 진수의 조건을 만족하는 경우에는 변환 과정에서 반례가 생기지 않지만, 밑이 1이거나 진수가 0 이하이면 애초에 로그가 정의되지 않는다는 점도 구분해 냈다. 이를 통해 학생은 계산 결과만 적는 대신, 관계식과 조건을 갖춘 답안을 완성했다.