반여동 중2수학과외

경계값에서 멈춘 부등식 풀이

반여동과외 수업에서 학생은 일차부등식의 답을 구한 뒤 수직선에 나타내는 과정에서 자꾸 한 칸씩 어긋났다. 반여동 생활권에는 무지개아파트와 부산광역시립반송도서관 인근 생활권이 함께 있어, 수업에서는 생활 속 범위를 읽는 문장도 문제에 활용했지만 중심은 부등호 방향과 수직선의 경계 표현이었다. 장산중학교가 포함된 생활권의 문제라고 해서 특정 학교의 출제 경향을 전제로 하지 않고, 학생이 실제로 적은 식과 표시를 따라 오류를 확인했다.

수직선보다 먼저 바뀐 판단

학생은 “어떤 수에 －3을 곱한 값이 12보다 작거나 같다”는 조건을 읽고 다음처럼 썼다.

－3x ≤ 12
양변을 －3으로 나누면 x ≤ －4

여기까지 식을 세운 것과 경계값을 계산한 것은 맞았다. 문제는 수직선에 옮길 때였다. 학생은 －4에 빈 동그라미를 그리고 왼쪽을 색칠했다. ‘작거나 같다’라는 말을 읽고 포함해야 한다는 판단은 했지만, 방금 바뀐 조건의 경계가 어느 쪽에 속하는지 확인하지 않은 채 표시한 것이다. 결과가 틀렸다는 사실보다 먼저 고쳐야 할 판단은 부등식을 계산한 뒤 원래 조건의 포함 여부를 다시 경계값에 대입하지 않은 것이었다.

학생이 적은 수직선에서 빈 동그라미를 지우고 －4에 찬 동그라미를 그리게 했다. 이어서 방향은 식으로 검산했다.

• x＝－4를 원래 식 －3x≤12에 넣으면 12≤12이므로 경계값은 포함된다.
• x＝－5를 넣으면 15≤12가 아니므로 －4보다 작은 쪽은 답이 아니다.
• x＝0을 넣으면 0≤12이므로 －4보다 큰 쪽이 답이다.

따라서 답은 x≥－4이고, 수직선에서는 －4에 찬 동그라미를 찍은 뒤 오른쪽을 표시해야 한다. 음수로 나누는 순간 부등호가 뒤집힌다는 계산 규칙은 그대로 유지하고, 그 결과를 수직선의 방향과 연결하는 한 단계만 바로잡았다.

표현이 바뀐 조건에서 다시 세운 경계

같은 수를 반복해 넣는 대신 문제의 모양을 바꾸었다. 이번에는 수직선에 2에서 찬 동그라미가 있고 오른쪽이 색칠되어 있었다. 학생은 그림을 보고 곧바로 “x＞2”라고 적으려다가, 찬 동그라미를 다시 확인하고 “x≥2”로 고쳤다. 이어 “－2x의 값이 －4보다 크다”라는 문장을 식으로 바꾸었다.

－2x＞－4에서 음수 －2로 나누므로 x＜2가 된다. 학생은 이번에는 2에 빈 동그라미를 그리고 왼쪽을 표시했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 수직선의 그림을 식과 문장으로 서로 번역하고, 질문의 방향을 ‘범위를 구하라’에서 ‘그림에 맞는 부등식을 고르라’로 바꾼 장면이었다.

또 다른 조건에서는 “x가 －1보다 크거나 같고 3보다 작다”를 한 줄로 쓰지 않고, －1≤x와 x＜3으로 나누어 표시했다. 양 끝의 동그라미 모양이 서로 다른 이유를 말하게 하자, －1은 포함되고 3은 포함되지 않기 때문이라고 설명했다. 범위의 안쪽과 경계의 포함 여부를 분리해 읽은 것이다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

수업 끝에 도움 없이 새 문제를 제시했다.

4－5x≤－11을 만족하는 x의 범위를 수직선에 나타내시오.

학생은 먼저 －5x≤－15라고 적고, “양변을 음수로 나누므로 방향을 바꿔 x≥3”이라고 말했다. 이어 3을 원래 식에 대입해 4－15＝－11이므로 등호가 성립한다고 확인했다. 그래서 3에는 찬 동그라미를, 오른쪽에는 색칠을 했다. 2를 넣으면 －6≤－11이 거짓이고 4를 넣으면 －16≤－11이 참이라는 검산 근거도 덧붙였다.

학생은 마지막에 “음수 연산 직후 방향을 바꾸고, 그다음 경계값을 원래 부등식에 넣어 포함 여부를 판단한 뒤 수직선 방향을 정한다”고 스스로 정리했다. 반여동중2수학과외에서 확인한 변화는 답만 맞힌 것이 아니라, 식의 부호와 경계 표시가 왜 함께 움직이는지 새 조건에서도 재현한 데 있었다.