반여동 고3수학과외

접근값만 보고 결론 내린 미정형 극한, 경계에서 다시 멈추다

반여동의 도서관 학습공간에서 진행한 오답 복기에서 학생은 다음 문제의 풀이를 꺼냈다.

함수 \(f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}\)가 \(x\ge 0\)에서 정의되어 있을 때, \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)\)를 구하여라.

학생은 분자와 분모가 모두 0으로 가므로 미정형이라고 판단한 뒤, 곧바로 유리화를 했다.

\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} =\frac{1}{\sqrt{1+x}+1} \]

따라서 극한값이 \(\frac12\)라는 계산 자체는 맞았다. 하지만 풀이 첫 줄에는 아무 표시 없이 \(x\to0\)이라고만 적혀 있었다. 정의역이 \(x\ge0\)이므로 0은 정의역의 끝점이다. 학생은 양쪽에서 접근하는 일반적인 극한처럼 생각했지만, 실제로 확인할 수 있는 접근은 \(x\to0^+\)뿐이었다. 정답만 맞고 경계 판단은 빠진 상태였다.

유리화보다 먼저 확인해야 할 한 줄

오류가 시작된 곳을 거꾸로 추적하자, 문제의 미정형을 처리한 계산이 아니라 정의역을 읽지 않은 첫 행동이 원인이었다. 학생은 예상 부호를 적는 습관은 있었지만, 그 앞에 정의역과 접근 방향을 기록하지 않았다.

교정은 한 가지만 적용했다. 첫 식 옆에 “정의역 \(x\ge0\), 따라서 \(x\to0^+\)”라고 적도록 했다. 그다음 유리화한 식에 \(x=0\)을 대입해 \(\frac12\)를 얻었다. 이때 경계값 \(f(0)\)의 존재 여부와 극한값은 별개의 문제라는 점도 구분했다. 실제로 원래 식은 \(x=0\)에서 분모가 0이므로 함수값은 정의되지 않지만, 오른쪽에서의 접근값은 존재한다.

이처럼 반여동과외 수업에서는 정답을 다시 계산하기보다 결론을 바꿀 수 있는 경계부터 표시하게 했다. 미정형이라는 표시는 계산을 시작하라는 신호일 뿐, 접근 방향까지 결정해 주지는 않기 때문이다.

조건을 바꾼 문제에서 같은 표시가 남는가

다음에는 숫자만 바꾸지 않고 정의역과 식의 방향을 함께 바꿨다.

\(g(x)=\dfrac{\sqrt{1-x}-1}{x}\)가 \(x\le0\)에서 정의되어 있을 때, \(\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)\)를 구하여라.

학생은 처음에는 전 문제의 오른쪽 화살표를 그대로 쓰려다가 멈췄다. 정의역이 \(x\le0\)이므로 이번에는 \(x\to0^-\)라고 먼저 적었다. 이어서

\[ \frac{\sqrt{1-x}-1}{x} \cdot\frac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1} = \frac{-1}{\sqrt{1-x}+1} \]

로 정리하여 극한값 \(-\frac12\)를 얻었다. 접근 방향을 바꾸었지만, 경계 확인 후 유리화한다는 판단은 유지되었다. 유형명을 가린 채 식만 제시했는데도 정의역에서 방향을 찾아낸 점이 이전 풀이와 달랐다.

새로운 경계에서 판단을 역추적하다

최종 확인에서는 \(h(x)=\dfrac{x-4}{\sqrt{x}-2}\), \(x\ge0\)에서 \(\lim_{x\to4}h(x)\)를 제시했다. 이번에는 4가 정의역의 끝점인지 내부점인지부터 살폈다. \(x\ge0\)에서 4의 양쪽 값이 모두 허용되므로 이번 극한은 양쪽 접근이 가능하다고 설명했다.

학생은 분모와 분자가 0이 되는 지점을 표시한 뒤, 분모를 유리화하지 않고 \(x-4=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\)로 인수분해하여 \(h(x)=\sqrt{x}+2\) \((x\ne4)\)를 얻었다. 마지막에는 원래 조건 \(x\ge0\)과 \(x\ne4\)를 다시 확인하고, 양쪽에서 모두 4로 가까워질 수 있다는 근거를 말로 덧붙였다. 새 문제에서도 계산 전에 경계와 접근 방향을 찾는 행동이 스스로 재현되었다.

반여고3수학과외에서 확인한 변화는 유리화 속도가 아니라, 미정형을 본 직후 일반 규칙을 적용하기 전에 정의역의 끝점과 접근 방향을 분리해 기록한 데 있었다.