반여동 중1수학과외

반여동 중1수학과외에서 이어진 식의 값 계산 기록

무지개아파트와 부산광역시립해운대도서관 인근 생활권, 장산중학교가 포함된 지역에서 중1 수학 풀이를 살펴보던 중 학생이 식의 값 단원 마무리 문제에서 멈췄다. 문제는 다음과 같았다.

정수 a에 대하여 a가 2보다 클 때는 식 3a-4의 값을 구하고, a가 2 이하일 때는 식 4-3a의 값을 구하여라. a=-1, 2, 5일 때의 값을 각각 구하여라.

틀린 답보다 먼저 확인한 한 줄

학생은 공책에 세 값을 세로로 적고, 곧바로 모든 경우에 3a-4를 적용했다. a=-1에는 3×(-1)-4=-7, a=2에는 3×2-4=2, a=5에는 3×5-4=11이라고 계산했다. 곱셈을 먼저 처리하고 덧셈과 뺄셈을 이어 간 계산 자체는 맞았지만, 식을 선택하기 전에 조건을 확인하지 않은 것이 풀이가 어긋난 최초 지점이었다.

특히 a=2에서 답이 틀어졌다. 학생은 ‘2에 가까운 수이므로 큰 수에 해당한다’고 생각해 2보다 클 때의 식을 그대로 사용했다. 이 문제의 핵심은 숫자의 크기를 대략 판단하는 것이 아니라, 2보다 큰가, 2 이하인가를 정확히 가르는 데 있었다.

경계값을 따로 세워 식을 다시 선택하다

풀이를 지우지 않고 각 수 옆에 조건을 표시하게 했다.

• a=-1: 2보다 크지 않으므로 2 이하 → 4-3a
• a=2: 2보다 크지 않으므로 2 이하 → 4-3a
• a=5: 2보다 크므로 → 3a-4

그다음 선택한 식 안에서만 연산 순서를 지켰다. a=-1일 때는 4-3×(-1)=4+3=7, a=2일 때는 4-3×2=4-6=-2, a=5일 때는 3×5-4=15-4=11이다. 학생은 ‘이하’에는 기준값 2가 포함된다는 점을 식 옆에 짧게 적었다. 이미 맞았던 곱셈 우선 계산은 유지하고, 계산 전에 조건을 읽는 순서만 바로잡은 것이다.

이후 결과를 원래 조건과 대조했다. -1과 2에서 고른 식은 모두 ‘2 이하’에 해당하고, 5에서 고른 식은 ‘2보다 큰 경우’에 해당했다. 특히 경계값 2를 다시 넣어 4-3×2=-2가 나오는지 확인하면서, 기준값을 임의로 다른 구간에 넣지 않았는지도 점검했다.

식이 아닌 문장으로 바뀐 문제에 적용하기

다음 문제는 같은 내용을 식으로 바로 제시하지 않았다.

어떤 정수 n이 3보다 작거나 같으면 n에 2를 곱한 뒤 1을 빼고, 3보다 크면 3을 곱한 뒤 1을 더한다. n=-2, 3, 4에서 얻는 값을 구하여라.

학생은 먼저 문장을 두 식으로 바꾸었다. ‘3보다 작거나 같으면’은 2n-1, ‘3보다 크면’은 3n+1로 적었다. 이어 n=-2, 3, 4를 표에 넣되, 값만 계산하지 않고 조건 칸을 먼저 채웠다.

• n=-2: 3 이하 → 2n-1 → 2×(-2)-1=-5
• n=3: 3 이하 → 2n-1 → 2×3-1=5
• n=4: 3보다 큼 → 3n+1 → 3×4+1=13

이번에는 숫자만 바꾼 연습이 아니라, 문장을 읽어 알맞은 식을 고르고 기준값을 확인하는 방식이었다. 학생은 “3보다 작거나 같다는 말에 3이 포함되므로 n=3은 첫 번째 식을 쓴다”고 근거를 한 줄로 설명했다. 질문이 ‘값을 구하여라’였으므로 각 입력값에 대한 결과를 순서대로 제시해야 한다는 점도 확인했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

마지막 검증에서는 새 문제를 제시하고 풀이 중간의 식을 가린 채 학생이 처음부터 작성하게 했다.

정수 x가 0보다 작으면 5-x를, 0 이상이면 2x+5를 계산한다. x=-3, 0, 2일 때의 값을 구하여라.

학생은 먼저 ‘0보다 작음’과 ‘0 이상’을 나누어 적었다. x=-3은 첫 번째 조건이므로 5-(-3)=8, x=0은 두 번째 조건이므로 2×0+5=5, x=2도 두 번째 조건이므로 2×2+5=9라고 계산했다. 이어 “0은 0보다 작지 않지만 0 이상이므로 두 번째 식을 선택했다”고 설명했다.

검산할 때도 결과만 다시 읽지 않고 각 답을 원래 조건에 되돌려 놓았다. -3에는 5-x를 사용했는지, 0과 2에는 2x+5를 사용했는지 확인한 뒤 연산 순서까지 다시 살폈다. 반여동과외 수업에서 확인한 이 장면은 식의 값 계산에서 중요한 것이 계산 속도보다 조건 확인, 식 선택, 연산, 원조건 검산의 순서임을 보여 주었다. 반여동중1수학과외에서도 같은 개념을 표현이 달라진 문제에 적용할 때 이 순서를 스스로 재현하는지 확인한다.