후평지구 고2수학과외







한 점의 양수값과 구간 전체의 적분값
학생은 \(f(0)=1>0\)이라는 사실을 확인한 뒤, 곧바로 \(\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\,dx>0\)이라고 판단했다. 그러나 정적분의 부호는 한 점의 함수값이 아니라 구간 전체에서 나타나는 넓이의 방향으로 결정된다.
그래프에서 먼저 확인할 것
함수 \(f(x)=1-4x^2\)를 구간 \([-1,1]\)에서 살펴보자. \(f(0)=1\)이므로 원점에서는 그래프가 x축 위에 있다. 하지만
\[ f(x)=0 \iff x=\pm\frac12 \]
이므로 \(\left(-\frac12,\frac12\right)\)에서는 양수이고, 나머지 구간에서는 음수이다. 특히 x축 아래에 놓인 부분이 더 넓어 적분값은 음수가 될 수 있다.
계산으로 판단을 검증하기
점값과 정적분은 별개의 정보
\[ f(0)=1>0 \]
이지만 정적분은
\[ \int_{-1}^{1}(1-4x^2)\,dx =\left[x-\frac{4}{3}x^3\right]_{-1}^{1} =-\frac23 \]
이다. 따라서 한 점에서의 함수값은 양수지만 구간 전체의 정적분은 음수이다.
오류를 새 문제에 적용해 고치기
정적분의 부호를 판단할 때는 먼저 구간을 나누어 함수의 부호와 넓이를 비교해야 한다. \(f(a)>0\)이라는 조건만으로는 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)의 부호를 정할 수 없다.
후평지구과외에서 이 유형을 다룰 때도 계산부터 시작하기보다 그래프가 x축 위와 아래에 각각 얼마나 놓이는지 먼저 확인하면 같은 오류를 줄일 수 있다.
최종 확인
이 문제의 올바른 결론은 다음과 같다.
\(f(0)>0\)이어도 \(\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\,dx<0\)일 수 있다.