후평지구 고3수학과외
조건을 먼저 골라야 기댓값의 분모가 보인다
후평지구의 생활권에서 춘천고등학교와 춘천여자고등학교 인근 학습환경을 참고해 수능형 확률 문항을 함께 점검하던 중, 학생의 풀이 첫 줄에서 중요한 습관이 드러났다. 표에 있는 값을 곧바로 더하기 전에 문제에서 실제로 제한하는 사건을 표시하는 것이었다. 이 한 가지 행동이 기댓값 계산의 방향을 바꾸었다.
평균을 내기 전에 표본공간을 다시 세우다
다음 문제를 제시했다.
확률변수 X가 0, 1, 2, 3, 4 중 하나의 값을 같은 확률로 갖는다. X≥2라는 조건이 주어졌을 때 E(X)를 구하여라.
학생은 처음에 모든 값을 평균 내어 (0+1+2+3+4)÷5=2라고 적었다. 그러나 이는 조건부 기댓값이 아니라 조건을 무시한 전체 평균이었다. 최초의 어긋남은 계산 실수가 아니라, ‘X≥2’가 사건인지 단순한 부가 설명인지 확인하지 않고 전체 표본공간을 그대로 사용한 데 있었다.
풀이를 멈춘 뒤 학생은 문제의 조건사건을 네모로 표시하고, 그 안에 남는 값만 다시 적었다.
- 조건사건 A={X≥2}
- 조건 뒤의 표본공간: {2, 3, 4}
- 조건부 확률: 각 값이 1/3
따라서 E(X|A)=(2+3+4)÷3=3이다. 빠진 조건을 첫 줄에 복원한 뒤에는 다른 계산을 덧붙이지 않고, 사건과 그 사건 안에서의 확률만 대조했다. 이처럼 춘천고3수학과외에서 기댓값을 다룰 때도 식을 빨리 세우는 것보다 분모가 어느 사건을 뜻하는지 먼저 확인하게 한다.
표의 순서를 바꾸자 판단이 시험대에 오르다
이번에는 조건을 표 아래에 배치하고, 확률도 균등하지 않게 바꾸었다.
X의 값은 0, 1, 2, 3이고 각각의 확률은 1/10, 2/10, 3/10, 4/10이다. 단, X≥2일 때 Y=2X-1의 조건부 기댓값을 구하여라.
학생은 먼저 Y의 식을 계산하려 했지만, 곧 문제의 제한이 X에 붙어 있다는 점을 찾아 표시했다. 조건사건 A={X≥2}이므로 조건부 확률의 분모는 전체 확률 1이 아니라 P(A)=3/10+4/10=7/10이다. 따라서
E(X|A)=2×(3/7)+3×(4/7)=26/7
이고, 선형성을 이용하면
E(Y|A)=E(2X-1|A)=2E(X|A)-1=45/7
이다. 여기서 학생은 원래 식과 변형식을 나란히 적어, ‘조건을 먼저 적용한 뒤 선형성을 사용한다’는 순서를 지켰다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 확률표의 제시 순서와 질문의 대상을 바꾸었는데도 조건사건을 먼저 찾는 행동이 유지된 것이다.
힌트 없이도 분모를 역추적했는가
마지막 주말 100분 실전세트에서는 해설이나 표시 없이 새로운 문항을 풀게 했다. 이번에는 확률변수 Z가 1, 2, 3, 4의 값을 각각 2/10, 1/10, 3/10, 4/10의 확률로 갖고, ‘Z가 홀수일 때 W=Z+2의 평균’을 묻는 형태였다. 조건이 표의 앞부분이 아니라 질문 뒤에 붙어 있었지만 학생은 먼저 A={Z=1 또는 Z=3}을 적었다.
이어 P(A)=2/10+3/10=1/2를 분모로 놓고, 조건 안에서의 확률을 2/5와 3/5로 다시 구성했다. E(Z|A)=1×2/5+3×3/5=11/5이므로 E(W|A)=E(Z+2|A)=21/5라고 정리했다. 마지막에는 계산한 평균 21/5가 W의 가능한 값 3과 5 사이에 있는지 확인하고, 전체 분모 10을 사용하지 않았는지도 스스로 점검했다.
처음에는 허용되지 않는 값까지 포함해 전체 평균을 냈지만, 교정 뒤에는 조건사건을 표시하고 새로운 표본공간의 분모를 다시 만드는 절차가 남았다. 춘천고3수학과외 학습에서도 이 판단이 문제의 숫자나 표 배열과 관계없이 이어지는지 확인하는 것이 기댓값 조건 판독의 핵심이다.