석사지구 중1수학과외

표에서 식까지 이어지는 정비례 풀이

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답을 맞힌 식에서 오류를 거슬러 올라가기

문제에는 한 개의 공책 가격이 800원이고, 공책 수를 x, 전체 가격을 y라고 했다. 학생은 표에 공책 수 1, 2, 4와 가격 800, 1600, 3200을 적은 뒤 곧바로 “y=800+x”라고 썼다. 4권의 가격을 계산해 보니 3204원이 되어 답이 어긋났다.

틀린 결과보다 먼저 살펴본 부분은 학생이 두 양의 관계를 정하기 전에 숫자를 더하는 식을 선택했다는 점이었다. 공책 수가 1권에서 2권으로 늘 때 가격도 800원에서 1600원으로 늘지만, 가격은 공책 수에 일정한 양을 더한 것이 아니라 800을 몇 배 한 값이었다.

학생은 표의 각 행을 가리키며 가격을 공책 수로 나누었다.

800÷1=800, 1600÷2=800, 3200÷4=800

나눗셈 결과가 모두 같으므로 이 일정한 값이 비례상수임을 확인하고, 가격은 공책 수에 800을 곱한 값이라고 다시 적었다.

y=800x

이때 이미 작성한 표는 그대로 사용했다. 새 풀이를 외우게 하지 않고, 표의 대응값을 식에 넣어 800=800×1, 1600=800×2처럼 성립하는지 확인했다. 식의 모양만 적는 것이 아니라 왜 800이 곱해지는지 표의 두 열에서 근거를 찾도록 했다.

문제의 모양이 바뀌었을 때

다음 문제는 숫자를 바꾼 반복 문제가 아니었다. “어떤 수도꼭지에서 물이 나오는 시간과 받은 물의 양은 어떤 관계인가?”라는 문장과 함께 시간 1분, 3분, 5분에 대응하는 물의 양 4L, 12L, 20L가 제시되었다. 학생은 이번에는 먼저 시간과 물의 양을 각각 x, y로 정하고 표를 만들었다.

그 뒤 “1분에 4L이므로 y=4x”라고 첫 식의 근거를 한 줄로 썼다. 표의 한 행만 보고 끝내지 않고 12÷3=4, 20÷5=4를 확인했다. 이어 그래프에서 가로축을 시간, 세로축을 물의 양으로 읽고, 점 (1, 4), (3, 12), (5, 20)을 표시했다. 각 점이 y=4x에 맞는지 대입하여 관계를 다시 확인했다.

질문을 바꾸어 “물의 양이 28L가 되려면 몇 분이 필요한가?”라고 묻자 학생은 식에 28을 넣는 방향을 먼저 판단했다.

28=4x
7=x

앞의 문제처럼 x를 곱해 y를 구하는 것과 달리, 이번에는 y가 주어져 x를 찾는 상황임을 문장에서 설명했다. 친구가 28×4를 계산한 풀이와 비교하면서도, 어느 수가 시간이고 어느 수가 물의 양인지 표의 열 제목을 다시 확인한 뒤 자신의 식을 선택했다.

힌트 없이 다시 세운 정비례 판단

수업 끝에는 “리본의 길이와 가격이 정비례하고, 2m의 가격이 1800원일 때 7m의 가격을 구하라”는 새 조건만 제시했다. 학생은 먼저 리본 길이를 x, 가격을 y로 적고, 비례상수는 1800÷2=900원이라고 설명했다. 따라서 y=900x, 7m의 가격은 6300원이라고 스스로 계산했다.

검산에서는 6300÷7=900이므로 처음 구한 비례상수와 같다고 적었다. 또 가격이 길이에 비례하므로 7m의 가격이 2m의 1800원보다 커야 한다고 답의 범위도 점검했다. 표를 만들고 식을 세우며, 주어진 대응값을 다시 식에 넣어 확인하는 과정이 도움 없이 이어졌다.

학생의 마지막 풀이는 문제 표현이 달라져도 같은 관계를 스스로 재현한 사례였다.