석사지구 고등수학과외
석사지구 고등수학과외에서는 미분 기호를 계산하는 데서 멈추지 않고, 각 함수가 무엇을 나타내는지부터 확인한다. 춘천고등학교나 춘천여자고등학교 학생들과 문제를 풀 때도 속도와 가속도를 같은 종류의 값처럼 다루는 순간 첫 오류가 생기기 쉽다. e-편한세상아파트와 롯데캐슬아파트 주변에서 공부하는 학생의 풀이에서도 자주 보이는 장면은 다음과 같다.
f'(8)=10을 읽기 전에 함수의 이름을 정한다
어느 학생이 “f'(8)=10이므로 8초에서 가속도는 10”이라고 적었다. 식 자체의 미분은 맞을 수 있지만, 그 결론은 f가 무엇을 뜻하는지에 따라 달라진다. 위치를 f(t)라고 정했다면 f'(t)는 속도이고 f''(t)가 가속도다. 반대로 f(t)를 속도로 정의했다면 f'(t)가 가속도가 된다.
기호를 미분하기 전에, f가 위치인지 속도인지 여백에 한 줄로 적는다.
학생은 이 기록을 생략한 채 f'(8)=10을 바로 가속도라고 해석했다. 그 결과 “8초에서 속도가 10만큼 증가한다”는 설명과 “가속도가 10이다”라는 설명을 뒤섞었다. 특히 위치 함수가 주어진 문제에서는 f'(8)=10은 속도 조건일 뿐이며, 가속도를 알려면 f''(8)을 계산해야 한다.
첫 오류가 생긴 지점을 다시 펼쳐 보기
예를 들어 위치가 f(t)=t³-9t²+24t라면
f'(t)=3t²-18t+24, f''(t)=6t-18
이다. 따라서 f'(8)=10이라는 조건을 별도로 만족한다고 해도, 8초에서의 가속도는 f''(8)=30이다. f'(8)=10과 가속도 30은 서로 다른 정보다. 학생은 처음에 f'와 f''를 구분하지 않고 “도함수이므로 가속도”라고 연결했다.
교정할 때는 공식을 더 외우게 하지 않고 같은 상황의 문장을 나란히 놓는다.
- 위치 s(t)의 도함수 s'(t): 순간 속도
- 속도 v(t)의 도함수 v'(t): 순간 가속도
- 위치 s(t)의 두 번째 도함수 s''(t): 순간 가속도
그 뒤 속도 함수 v(t)=t²-6t+8을 제시하고 v'(t)=2t-6을 구하게 했다. 이번에는 v'(8)=10을 가속도로 정확히 설명했다. 함수의 역할을 바꾸면 같은 기호 f'도 의미가 달라진다는 점을 직접 말하게 한 것이다.
좌표를 옮긴 새 조건에서 혼자 적용하기
다음 문제에서는 시작 시각을 0초가 아니라 3초로 바꾸었다. 위치를 s(t), 속도를 v(t)=s'(t)라고 할 때, u=t-3으로 시간을 옮긴 뒤 v(3+u)의 u에 대한 도함수가 무엇을 뜻하는지 설명하게 했다. 학생은 먼저 “v는 속도 함수”라고 표시하고,
dv/du=dv/dt
를 확인했다. 시간축을 평행이동해도 변화율의 의미는 바뀌지 않으므로 이 값은 여전히 가속도다. 다만 s'(8)=10이라는 위치 함수의 조건을 곧바로 가속도로 부를 수는 없다는 점도 함께 구분했다.
조건을 숫자만 바꾼 연습보다 함수의 주체를 바꾼 연습이 더 효과적이었다. “s'(5)=4는 무엇인가?”, “v'(5)=4는 무엇인가?”를 연속해서 묻자 학생은 같은 숫자 4라도 첫 문장에서는 속도, 둘째 문장에서는 가속도라고 답했다.
적분으로 마지막에 되돌려 확인하기
검산에서는 속도 v(t)=t²-6t+8을 2초부터 5초까지 적분했다. 위치 변화량은
∫₂⁵v(t)dt=[t³/3-3t²+8t]₂⁵=12
이다. 한편 위치 함수를 s(t)=t³/3-3t²+8t+C로 두면 s'(t)=v(t)이고 s(5)-s(2)=12가 된다. 적분한 값과 위치 함수의 차이가 일치하므로 속도와 위치의 관계를 다시 확인할 수 있다. 이어 v'(t)=2t-6을 미분해 가속도를 얻어, 적분은 위치 변화량 검산에 쓰이고 미분은 순간 변화율을 찾는다는 구분까지 마무리했다.
자주 묻는 질문
f'(8)=10이면 언제 가속도인가요?
f가 속도 함수일 때다. f가 위치 함수라면 f'(8)은 속도이고 가속도는 f''(8)이다.
시간을 t-3으로 바꾸면 도함수의 의미도 달라지나요?
단순한 시간축 이동이라면 달라지지 않는다. 속도 함수의 도함수는 여전히 가속도다.
위치 함수가 없어도 가속도를 구할 수 있나요?
속도 함수가 주어졌다면 그 함수를 미분해 구할 수 있다. 위치 함수만 주어졌다면 두 번 미분한다.
적분 검산은 무엇을 확인하나요?
속도를 구간 적분한 값이 해당 구간의 위치 변화량과 일치하는지 확인한다.