청주 중2수학과외

평행사변형의 성질을 그림의 조건으로 다시 읽은 수업

청주과외 수업에서 학생은 평행사변형의 대변과 대각 성질을 묻는 범위 판정 문제를 풀었다. 용두암현대1차아파트와 내덕칠거리가 있는 생활권, 그리고 각리중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 도형 문제였지만, 핵심은 그림의 모양이 아니라 실제로 표시된 조건을 구분하는 일이었다.

평행사변형이라는 이름만 보고 모든 대각선 성질을 한꺼번에 적용해도 될까?

그림보다 먼저 합동을 고른 한 줄

문제의 그림에는 평행사변형 ABCD가 있고, 대각선 AC와 BD가 만나는 점을 O로 표시했다. 학생은 AB와 CD에 같은 눈금, AD와 BC에 같은 눈금을 표시한 뒤 “대변의 길이는 각각 같다”고 적었다. 여기까지는 주어진 평행사변형의 성질에 맞았다. 이어 AO와 OC, BO와 OD가 같다는 결론을 확인하려고 했는데, 조건을 다시 읽기 전에 삼각형 AOB와 COD가 합동이라고 먼저 정했다.

학생은 대응점을 A↔C, B↔D로 잡고 “두 변과 끼인각이 같으므로 합동”이라고 썼다. 그러나 이때 비교한 각이 실제로 주어진 각인지, 평행선에서 생기는 각인지 표시하지 않았다. 조건이 달라졌을 때도 같은 대응과 같은 합동조건을 쓰려 한 것이 최초의 어긋난 판단이었다. 계산 결과가 틀어진 뒤의 문제가 아니라, 대응점을 정하기 전에 합동조건을 선택한 것이 출발점이었다.

그림에 있는 표시만 남겨 대응을 고치다

교사는 이미 맞게 적은 대변의 길이 표시는 지우지 않고, 그림에 실제로 표시된 조건을 세 줄로 다시 정리하게 했다.

• 평행사변형이므로 AB∥CD, AD∥BC이다.
• 대변의 길이는 각각 같지만, 이것만으로 대각선이 서로 수직이등분한다고 바로 판단하지 않는다.
• AO=OC, BO=OD를 보이려면 평행선으로 생기는 각과 대변의 관계를 확인한 뒤 대응 삼각형을 정한다.

학생은 먼저 ∠BAO와 ∠DCO를 서로 평행한 AB, CD와 AC가 만드는 엇각으로 표시했다. 이어 ∠ABO와 ∠CDO도 AD가 아니라 실제로 만나는 선분과 평행선의 위치를 확인하며 대응시켰다. 그 다음 A와 C, B와 D를 무조건 바꾸어 놓지 않고, 두 삼각형에서 같은 위치의 변과 각을 나란히 적었다. 합동을 사용할 수 있는 조건이 확보된 뒤에야 AO와 OC, BO와 OD의 관계를 결론으로 옮겼다.

다음 그림에서는 대각선이 수직으로 만나는 표시와 각의 이등분 표시가 함께 제시되었다. 학생은 예전처럼 “평행사변형이면 대각선은 항상 수직”이라고 쓰지 않고, 수직 표시와 이등분 표시를 각각 따로 읽었다. 평행사변형의 모든 경우에 공통인 대각선의 서로 이등분 성질과, 추가 조건이 있을 때만 나타나는 성질을 분리한 것이다.

같은 개념을 표와 질문의 방향으로 바꾸어 확인

변형 문제는 그림 대신 다음과 같은 문장과 표로 제시되었다.

• ABCD는 평행사변형이다.
• AC와 BD의 교점은 O이다.
• 표에는 AO와 OC가 같은 칸에, BO와 OD가 다른 칸에 제시되어 있다.
• 추가로 ∠A와 ∠C가 같다는 문장이 주어졌다.

질문은 “무엇이 같은가?”가 아니라 “주어진 정보만으로 반드시 말할 수 없는 것은 무엇인가?”였다. 학생은 먼저 평행사변형이라는 조건에서 대변의 평행과 대각선의 서로 이등분 관계를 적었다. 그 뒤 수직 표시나 각의 이등분 표시가 표에 없으므로 대각선의 수직 여부와 모든 각의 이등분 여부는 보류했다. 숫자를 바꾼 문제가 아니라, 그림을 표와 부정 질문으로 바꾼 상황에서도 공통 성질과 추가 조건을 구별한 장면이었다.

청주중2수학과외 과정에서 마지막 확인 문제는 외심과 내심을 함께 묻는 형태였다. 학생은 평행사변형의 대각선 교점 O를 곧바로 외심이나 내심이라고 부르지 않았다. 외심은 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점인지, 내심은 각의 이등분선이 만나는 점인지 원래 그림에 대조했다. 대각선이 서로 이등분된다는 사실만으로 두 점의 정의가 충족되는 것은 아니라고 구분했다.

힌트 없이 다시 세운 판단

새 문제에서 학생은 마름모 모양으로 그려진 평행사변형과 두 대각선, 한 개의 수직 표시를 받았다. 학생은 먼저 “평행사변형에서 항상 성립하는 것은 대각선이 서로 이등분한다는 것”이라고 적고, 수직 표시는 별도의 추가 조건으로 표시했다. 이어 주어진 평행선과 대각을 이용해 필요한 삼각형의 대응을 정한 뒤, 합동을 적용할 수 있는지 확인했다.

검산할 때는 결론을 원래 그림에 되돌려 놓았다. AO=OC와 BO=OD는 평행사변형의 대각선 성질과 일치하지만, 대각선이 서로 수직이라는 결론은 그림의 수직 표시가 있을 때만 가능하다고 설명했다. 또 외심·내심이라는 이름도 정의에 맞는 표시가 있는지 확인한 뒤 사용했다. 도움 없이 공통 성질과 추가 조건의 경계를 먼저 세우고, 표시와 원래 그림을 대조해 검산한 것이 이 사건의 최종 확인이었다.