청주 중1수학과외

청주 중1수학과외에서 다각형 대각선 수를 다시 세운 과정

용두암현대1차아파트와 내덕시영아파트가 있는 생활권, 내덕칠거리 인근의 청주과외 수업에서 학생의 오답을 함께 살폈다. 각리중학교, 복대중학교, 금천중학교 등이 포함된 지역에서 자주 만나는 중1수학 문제였지만, 이번 핵심은 공식을 외우는 것이 아니라 대각선의 경계를 정확히 판단하는 것이었다.

답이 틀어지기 전 학생이 적은 것

문제는 “칠각형의 대각선 개수를 구하고, 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 수를 설명하라”는 내용이었다. 학생은 칠각형의 꼭짓점에 차례로 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ을 표시한 뒤, 공책에 다음과 같이 적었다.

“한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점 6개로 선을 그을 수 있으므로 6개, 전체는 7×6÷2=21개.”

계산 자체는 빠르게 진행했지만, 첫 판단에서 이미 대각선의 경계를 놓쳤다. 선택한 꼭짓점과 바로 이어진 두 꼭짓점까지 대각선으로 세었기 때문이다. 학생은 선분을 그을 수 있다는 사실과 대각선이라는 조건을 구분하지 않은 채, 이전 문제에서 사용한 계산 방식을 그대로 적용했다.

경계를 표시한 뒤 계산을 고치다

이미 그려 둔 칠각형은 지우지 않고, 기준 꼭짓점을 ㄱ으로 정했다. ㄱ에서 다른 꼭짓점으로 선을 이어 보면서 변인 ㄱㄴ과 ㄱㅅ에는 파란색 표시를 하고, 꼭짓점 자신에게 연결하는 선은 세지 않는다고 옆에 적었다. 이어 ㄱㄷ, ㄱㄹ, ㄱㅁ에만 동그라미를 쳤다.

따라서 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선은 전체 꼭짓점 7개에서 기준 꼭짓점 1개와 양옆의 두 꼭짓점을 제외한 7-3=4개였다. 전체 대각선은 각 꼭짓점에서 4개씩 세면 하나의 대각선을 양 끝에서 두 번 세게 되므로, “7×4를 계산한 뒤 2로 나눈다”고 설명했다.

“대각선은 변이 아닌 꼭짓점끼리 연결한 선분입니다. 그래서 기준 꼭짓점과 양옆의 두 꼭짓점은 처음부터 제외해야 합니다.”

학생은 원래 그림에서 ㄱㄷ, ㄱㄹ, ㄱㅁ을 실제로 확인한 다음, ㄴ과 ㄷ에서도 각각 네 개가 나오는지 표시했다. 한 꼭짓점에서의 개수와 전체 개수를 섞지 않도록 두 결과를 따로 적은 것도 중요한 변화였다.

그림을 돌리고 질문의 방향을 바꾼 적용

다음 문제에서는 같은 칠각형을 90도 돌려 놓고, “대각선의 개수”가 아니라 “대각선이 아닌 변의 개수와 대각선의 개수의 차이”를 물었다. 학생은 그림의 방향에 끌려가지 않기 위해 먼저 꼭짓점 수를 세어 7이라고 적었다. 그 후 어느 꼭짓점에서 시작하든 양옆 두 곳은 변으로 연결된다는 조건을 그림 위에 표시했다.

변은 칠각형의 꼭짓점 수와 같아 7개이고, 대각선은 한 꼭짓점에서 4개씩 생각하여 전체를 두 번 센다는 근거로 14개라고 정리했다. 따라서 질문한 차이는 14-7=7이었다. 이번에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 도형의 방향과 질문 순서를 바꾸었지만, 학생은 먼저 “무엇을 대각선으로 인정하는가”를 확인한 뒤 계산을 시작했다.

해설을 가린 뒤 이루어진 독립 검증

수업 후반에는 오답 기록과 풀이 해설을 모두 덮고, 새로운 팔각형 문제를 제시했다. “한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선 수와 전체 대각선 수를 구하고, 왜 그런지 한 문장으로 쓰시오”라는 서술형이었다.

학생은 팔각형의 꼭짓점 수를 8로 세고, 기준 꼭짓점과 양옆의 두 꼭짓점을 제외하여 8-3=5라고 적었다. 이어 8×5÷2=20으로 전체 대각선 수를 구했다. 마지막에는 직접 한 꼭짓점에서 다섯 개의 선을 표시하고, 변 두 개와 기준 꼭짓점은 대각선에서 제외된다고 설명했다.

또한 “각 대각선은 양 끝 꼭짓점에서 한 번씩 세어지므로 2로 나눈다”는 검산 근거도 스스로 덧붙였다. 답만 맞힌 것이 아니라, 처음 실수했던 경계를 다시 세우고 새로운 도형에서도 같은 판단을 독립적으로 재현한 장면이었다. 청주중1수학과외에서는 이처럼 대각선의 개수를 구하는 식보다 먼저, 선분의 성격과 제외할 대상을 학생의 표시로 확인하도록 지도한다.