전포동 고등수학과외

전포동 고등수학과외에서는 경우의 수를 계산하는 속도보다 합의 법칙과 곱의 법칙을 언제 나누어 적용하는지 먼저 확인한다. 부산동성고등학교와 부산동고등학교 학생이 학교 자료의 조건 9개짜리 문제를 풀 때도 식을 곧장 세우지 않고, 선택 과정이 ‘또는’으로 갈라지는지 ‘그리고’로 이어지는지 표시하는 훈련을 진행한다. 전포동 생활권의 학생들은 부산광역시립부전도서관이나 서면센트럴스타 인근 학습 공간에서 비슷한 문제를 다시 펼쳐 보며, 조건을 읽은 순서와 계산한 순서가 일치하는지도 점검한다.

조건 아홉 개를 가린 뒤 드러난 첫 오류

학생에게 문제의 조건 9개 중 일부를 가리고, 가능한 경우를 직접 복원하게 했다. 예를 들어 행사에 참여할 사람을 정한 뒤, 정해진 사람마다 다른 색의 명찰을 고르는 상황이었다. 학생은 “사람을 고르는 경우와 명찰을 고르는 경우를 더하면 된다”고 적었다. 사람 선택 뒤 명찰 선택이 반드시 이어지는 구조인데도 합의 법칙을 먼저 적용한 것이다.

오류는 계산식에서 처음 나타났다. 학생은 사람을 고르는 경우를 6, 명찰을 고르는 경우를 4라고 두고 6+4=10이라고 썼다. 하지만 한 사람 선택마다 명찰 선택이 다시 발생하므로 전체 결과는 6×4로 세어야 한다. 더구나 조건 9개 중 ‘같은 명찰을 사용할 수 없음’, ‘특정 사람은 제외’, ‘두 명은 반드시 함께 선택’ 같은 문장을 한꺼번에 처리하려다 중간 경우를 기록하지 않아 어디서 수가 바뀌었는지도 설명하지 못했다.

합과 곱을 구분하는 짧은 기록법

학생의 원래 풀이를 지우고, 각 조건을 선택 과정의 단계와 갈림길로 나누어 다시 적게 했다. 서로 겹치지 않는 선택지라서 둘 중 하나만 고르는 경우에는 합을 사용하고, 한 단계를 마친 뒤 다음 선택을 모두 수행하는 경우에는 곱을 사용한다는 문장을 문제 옆에 직접 써 두었다.

6개 중 4개를 고르는 미니 문제에서는 먼저 순서를 따지는지 확인했다. 순서가 없으면 조합으로 세어야 하며, 단순히 6×5×4×3을 쓰면 같은 묶음을 여러 번 세게 된다. 반대로 17개 중 3개를 차례로 뽑아 순서가 결과가 되는 문제라면 곱셈을 이어 간다. 학생은 두 문제의 숫자만 보고 같은 방식으로 계산하려 했지만, ‘선택 결과에 순서가 포함되는가’를 첫 줄에 적은 뒤 식을 정했다.

경우를 더하는 순간에는 선택지가 서로 겹치지 않는지, 곱하는 순간에는 앞 단계의 각 결과마다 다음 단계가 반복되는지 확인한다.

수치가 달라진 조건에서 혼자 다시 적용하기

다음 날에는 조건의 수와 숫자를 바꾸었다. 9개의 조건 중 일부는 순서를 포함한 배열 문제로, 일부는 순서가 없는 선택 문제로 바꾸고, 특정 조건을 만족하는 경우와 만족하지 않는 경우를 별도 갈래로 제시했다. 학생은 처음부터 식을 세우지 않고 조건을 ‘갈라지는 경우’와 ‘이어지는 단계’로 나눈 뒤, 각 갈래의 끝에서 경우의 수를 계산했다.

이번에는 6개 중 4개를 고르는 문제에서 조합을 사용하고, 그 뒤 선택된 4명에게 서로 다른 좌석을 배정하는 단계에서는 곱셈을 적용했다. 단, 좌석 배정이 선택과 동시에 묶여 있다면 조합 뒤에 순열을 곱해야 한다는 점도 확인했다. 17개 중 3개를 순서대로 뽑는 문제에서는 첫 번째 17가지, 두 번째 16가지, 세 번째 15가지로 세어 곱했으며, ‘중복 허용’ 조건을 추가했을 때는 각 단계가 17가지로 바뀌는 것을 스스로 수정했다.

트리 다이어그램으로 끝까지 검산하기

마지막에는 식만 보고 맞다고 판단하지 않도록 트리 다이어그램을 그렸다. 첫 선택에서 갈라진 가지 수를 세고, 각 가지에서 이어지는 끝가지를 모두 표시했다. 학생이 계산한 곱셈 결과와 트리의 끝가지 수가 다르면 조건을 빠뜨린 것이다. 특히 합의 법칙으로 나눈 두 갈래가 같은 결과를 중복 포함하는지 확인하기 위해, 각 끝가지에 선택 순서와 조건을 짧게 적었다.

처음에는 6×4=24라고 계산했지만 트리에는 특정 사람 제외 조건 때문에 일부 가지가 줄어드는 장면이 나타났다. 학생은 전체 곱을 먼저 구한 뒤 조건을 빼는 방식이 항상 가능한 것은 아니라는 점을 확인하고, 조건이 적용되는 단계에서 가지를 제거했다. 이 검산으로 계산 결과뿐 아니라 합과 곱을 적용한 시점까지 설명할 수 있게 되었다.

자주 묻는 점

합의 법칙은 언제 쓰나요?

서로 겹치지 않는 여러 경우 중 하나를 선택할 때 사용한다. 겹치는 경우가 있으면 중복을 따로 점검해야 한다.

곱의 법칙은 단순히 숫자를 곱하는 것인가요?

앞 단계의 각각의 결과에 대해 다음 단계가 반복될 때 적용한다. 단계가 독립적인지 조건 때문에 선택지가 줄어드는지 함께 살핀다.

선택 문제에서 순서는 어떻게 판단하나요?

결과를 나열했을 때 A를 먼저 뽑고 B를 나중에 뽑은 것과 그 반대가 다른 결과인지 확인한다. 다르면 순서를 포함한다.

트리 다이어그램은 언제 필요한가요?

조건이 여러 단계로 이어지거나 합과 곱이 섞인 문제에서 유용하다. 끝가지 수와 계산식을 비교하면 빠뜨린 조건을 찾기 쉽다.

계산 결과가 맞으면 풀이도 맞나요?

우연히 같은 수가 나올 수 있으므로 조건별 갈래와 적용 시점을 다시 확인해야 한다. 끝가지에 실제 선택 내용을 적어 보는 것이 안전하다.