부전동 중3수학과외

부전동 생활권에서 찾은 다항식 곱셈의 첫 오류

부전동과외 수업에서 문장 속 넓이 관계를 식으로 옮긴 뒤 다항식의 곱셈으로 전개하는 문제를 다뤘습니다. 이번 초점은 전개 결과를 외우는 것이 아니라, 곱해져야 할 항을 빠짐없이 확인하는 것이었습니다.

시간 제한 풀이에 남은 식

“가로가 세로보다 3m 길고, 세로를 x m라 할 때 직사각형의 넓이는 x(x+3)이다. 이 넓이를 전개하여 나타내라.”

학생은 2분 안에 다음과 같이 적었습니다.

x(x+3)=x²+3

이어 다른 문제도 풀었습니다. 가로가 2x-1 m, 세로가 x+4 m인 직사각형의 넓이를 구하라는 문항에서 다음 식을 썼습니다.

(2x-1)(x+4)=2x²+8x-1+4=2x²+12x+3

마지막 답만 보면 계산을 서둘러 틀린 것처럼 보이지만, 풀이를 완성한 뒤 답 부분을 가리고 식을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽게 했습니다. 먼저 확인한 것은 계산 결과가 아니라 괄호 안의 각 항이 몇 번 곱해졌는지였습니다.

결과보다 앞에 있던 어긋남

첫 번째 문제에서 학생은 x와 x를 곱해 x²을 만든 뒤, 3을 그대로 내려 적었습니다. 즉, x·3을 확인하지 않았습니다. 두 번째 문제에서도 2x·x, 2x·4, -1·x, -1·4 가운데 두 항만 제대로 처리하지 못했습니다. 특히 -1·x를 -1로, -1·4를 4로 적어 x와 상수의 곱을 놓쳤습니다.

따라서 가장 먼저 잘못된 판단은 “괄호의 항 하나는 그대로 써도 된다”라고 본 지점입니다. 뒤에서 8x와 상수를 합치는 방식이 틀린 것이 아니라, 동류항을 정리하기 전에 이미 항별 곱이 빠져 있었습니다.

한 줄을 고쳐 다시 전개하기

전체 풀이를 처음부터 다시 쓰게 하지 않고, 괄호의 항끼리 만나는 자리를 네 칸으로 표시했습니다.

(2x-1)(x+4)
= (2x)(x)+(2x)(4)+(-1)(x)+(-1)(4)
= 2x²+8x-x-4
= 2x²+7x-4

교정한 행동은 하나였습니다. 전개할 때 첫 번째 괄호의 각 항을 두 번째 괄호의 모든 항과 한 번씩 곱해 적기입니다. x(x+3)도 같은 방식으로 쓰면 x·x+x·3=x²+3x가 됩니다. 이미 맞게 적었던 x·x는 그대로 두고 빠진 곱만 보완했습니다.

식의 모양을 바꾼 독립 문제

며칠 뒤에는 넓이를 바로 전개하라는 형식 대신, 그림의 두 부분 넓이를 합쳐 하나의 곱으로 나타내는 문제를 제시했습니다. 한 직사각형은 가로가 x+5, 세로가 x-2이고, 넓이를 전개한 식을 고르는 문항이었습니다.

• ① x²+3x-10
• ② x²+7x-10
• ③ x²+3x+10
• ④ x²-7x-10

학생은 보기를 먼저 고르지 않고 빈칸에 항별 곱을 적었습니다.

(x+5)(x-2)=x·x+x·(-2)+5·x+5·(-2)
=x²-2x+5x-10=x²+3x-10

이번에는 부호가 붙은 항을 따로 표시했고, 상수끼리의 곱도 마지막까지 남겼습니다. 숫자만 바꾼 연습이 아니라, 넓이를 문장으로 계산하는 대신 보기와 식의 구조를 보고 필요한 곱을 복원한 점이 달라졌습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 기록

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀었습니다.

정사각형의 한 변을 x+2로 나타낼 때, 넓이를 전개한 식을 구하고 x=3을 대입하여 원래 넓이와 비교하라.

학생은 먼저

(x+2)(x+2)=x²+2x+2x+4=x²+4x+4

라고 적었습니다. 이어 전개식에 x=3을 넣어 9+12+4=25를 얻고, 원래 넓이에는 한 변의 길이 3+2=5를 넣어 5×5=25라고 확인했습니다.

“두 괄호의 모든 항을 한 번씩 곱했기 때문에 빠진 항이 없고, x=3에서 전개 전후 넓이가 같으므로 식이 맞다”고 설명하며 마무리했습니다. 부전동중3수학과외에서도 이처럼 정답보다 먼저 항별 곱을 기록하면, 다항식 곱셈의 최초 오류를 스스로 찾아낼 수 있습니다.