LearnMap

부전동 고등수학과외

과외 학습 안내 이미지 1과외 학습 안내 이미지 2과외 학습 안내 이미지 3과외 학습 안내 이미지 4과외 학습 안내 이미지 5과외 학습 안내 이미지 6과외 학습 안내 이미지 7

부전동 고등수학과외에서 경우의 수를 공부할 때 학생들이 자주 헷갈리는 부분은 합의 법칙과 곱의 법칙의 적용 시점이다. 서면센트럴스타나 네오스포아파트 인근에서 만나는 학생들과 문제를 풀다 보면 계산보다 먼저 ‘서로 나뉘는 경우인가, 이어지는 선택인가’를 판별하는 데서 차이가 난다. 부산외국어고등학교와 부산국제고등학교를 준비하는 학생도 이 구분을 한 줄로 적어 두면 풀이가 훨씬 또렷해진다.

15명 중 4명을 뽑는 문제에서 생긴 첫 오류

남학생 9명과 여학생 6명으로 이루어진 15명 중 4명을 뽑되, 남녀가 모두 포함되도록 하는 문제를 제시했다. 학생은 먼저 “남학생을 뽑는 경우와 여학생을 뽑는 경우를 나누니까 더한다”고 적었다. 이어서 남학생 3명, 여학생 1명을 뽑는 경우를 계산하려고 했지만, 식을 9×6처럼 세웠다.

첫 어긋남은 바로 그 중간 줄이었다. ‘남학생 3명, 여학생 1명’은 서로 배타적인 두 경우를 더하는 것이 아니라, 남학생 3명을 고른 뒤 여학생 1명을 고르는 연속 선택이다. 따라서 경우의 수는 9명 중 3명 선택 × 6명 중 1명 선택, 즉 기호로 C(9,3)×C(6,1)이 된다. 학생은 문제의 조건에 밑줄을 긋지 않은 채 계산부터 시작하면서, ‘모두 포함’이라는 조건을 마지막에 덧붙이려 했다.

조건을 네 칸으로 나누어 다시 세기

풀이를 지우게 하는 대신 종이를 네 칸으로 나누고, 뽑힌 여학생 수를 기준으로 표시했다. 여학생이 1명인 칸, 2명인 칸, 3명인 칸, 4명인 칸이다. 남녀가 모두 포함되어야 하므로 실제로 사용할 수 있는 칸은 앞의 세 칸뿐이다.

  • 여학생 1명: C(6,1)×C(9,3)=504
  • 여학생 2명: C(6,2)×C(9,2)=540
  • 여학생 3명: C(6,3)×C(9,1)=180

각 칸 안에서는 두 집단에서 각각 인원을 고르므로 곱셈이 쓰인다. 그러나 여학생 수가 1명인 경우와 2명인 경우는 동시에 일어날 수 없는 별개의 경우이므로 마지막에는 더한다. 전체는 504+540+180=1224가지다. 학생은 이제 ‘칸 안에서는 곱하고, 칸과 칸 사이는 더한다’고 자신의 말로 정리했다.

조건을 바꾼 독립 적용

같은 학생에게 남학생 9명, 여학생 6명 중 4명을 뽑되, 여학생이 적어도 2명 포함되는 새 문제를 혼자 풀게 했다. 이번에는 여학생 수가 2명, 3명, 4명인 세 경우만 남긴다.

  • 여학생 2명: C(6,2)×C(9,2)=540
  • 여학생 3명: C(6,3)×C(9,1)=180
  • 여학생 4명: C(6,4)×C(9,0)=15

따라서 답은 735가지다. 처음처럼 ‘남학생을 고르는 경우와 여학생을 고르는 경우’를 막연히 나누지 않고, 조건을 만족하는 여학생 수를 먼저 정한 뒤 각 경우를 곱해 계산했다. 첫 조건을 밑줄로 표시하지 않아도 풀이의 출발점이 달라졌는지 확인할 수 있었다.

직접 나열한 결과와 맞춰 보기

마지막에는 공식을 다시 설명하지 않고, 첫 번째 선택 뒤 가능한 다음 선택 수를 곱하는 방식으로 검산했다. 예를 들어 여학생 2명을 포함하는 경우는 여학생 6명 중 2명을 고른 뒤 남학생 9명 중 2명을 고르는 구조이므로 15×?처럼 단순히 배열하지 않고 중복 선택을 제거해야 한다. 두 명을 순서 있게 고르면 6×5, 남학생도 9×8이지만 각 두 사람의 순서가 두 번씩 세어지므로 (6×5÷2)×(9×8÷2)=540이 된다.

이 값이 조합식으로 얻은 540과 일치했다. 세 경우의 합도 735로 같았다. 더 나아가 여학생이 0명인 경우와 1명인 경우를 포함한 전체 선택 수가 C(15,4)=1365인지 확인하고, 조건에 맞지 않는 C(9,4)+C(6,4)=141을 빼도 1224가 나왔다. 서로 다른 세기가 같은 결과를 가리키면서, 학생은 합의 법칙과 곱의 법칙을 계산 기호가 아니라 경우의 구조로 구분하게 됐다.

자주 묻는 질문

합의 법칙은 언제 쓰나요?

동시에 성립할 수 없는 여러 경우를 나누어 전체를 셀 때 사용한다. 여학생 수가 1명, 2명, 3명인 경우처럼 서로 겹치지 않아야 한다.

곱의 법칙은 어떤 상황인가요?

한 선택을 한 뒤 다음 선택이 이어지는 구조다. 남학생을 정하고 여학생을 정하는 과정처럼 각 단계의 선택 수를 곱한다.

여학생 4명인 경우에 C(9,0)을 곱하는 이유는 무엇인가요?

남학생을 고르지 않는 선택도 하나의 방법이기 때문이다. C(9,0)=1이므로 여학생 4명을 고르는 경우가 그대로 유지된다.

계산 결과를 빠르게 검산하려면 어떻게 하나요?

조건을 만족하는 경우를 다른 기준으로 다시 나누거나, 순서 있게 뽑은 뒤 중복된 순서를 제거해 원래 조합식과 비교하면 된다.

부전동 고등수학과외 학부모 후기

시험지를 파일에 넣어두려고 방에 잠깐 들어갔다가 그래프 문제에서 시선이 멈췄어요. 계산한 교점을 그래프 위에 따로 표시해 둔 게 보이더라고요. 그냥 답만 적어둔 게 아니라, 실제 위치를 다시 짚어본 흔적이라 의외로 눈에 띄었어요. 부전동 수학과외를 알아볼 때도 이런 부분을 중요하게 봤는데, 아이는 원래 공부를 끝내면 다음에 확인할 만한 표시를 남기지 않는 편이었거든요. 그런데 이번에는 교점이 식에서 나온 결과와 그래프의 위치에 맞는지 직접 대조한 것처럼 보이더라고요. 그 뒤 다른 빈칸 문제를 풀던 날에도 계산을 마친 다음 그래프에 교점을 다시 표시해 두었어요. 마지막에 한 부분을 한 번 더 살펴보고는 거기서 멈췄고, 필요 이상으로 다른 내용까지 끌어와 정리하지는 않았습니다.

★★★★★학부모 후기

새 문제집을 넘기다가 아이가 계산한 교점을 그래프 위에 다시 찍어 둔 흔적을 보게 됐어요. 처음 판단한 부분과 나중에 다시 살핀 곳이 함께 남아 있더라고요. 예예전에는 복습할 때 확인할 대상을 따로 잘게 나누지 않았던 아이라 이런 표시가 조금 낯설었습니다. 부전동 수학과외 관련 준비물을 챙기며 문제집 해설지를 정리하던 날에도 비슷한 장면이 눈에 들어왔어요. 그래프 문제에서 교점 위치만 따로 표시해 두고, 계산 결과가 실제 그래프의 위치와 맞는지 다시 대조하고 있었습니다. 답만 적어둔 게 아니라 계산한 교점과 그래프를 나란히 확인한 점이 전과 달랐어요.ефон

★★★★☆학부모 후기

어려운 단원을 앞두고도 예전처럼 문제를 빨리 넘기려 했지만, 부전동에서 수업을 받으며 선생님이 왜 그렇게 읽었는지 차분히 물어봐 주셔서 생각을 말하기 편했습니다. 시험 기간에는 문제 수를 줄이고 반복되는 실수의 원인부터 함께 정리해 부담이 덜했으며, 복습을 미루더라도 다음 날 다시 이어 가는 힘과 수학에 대한 자신감이 조금씩 생겼습니다.

★★★★☆학부모 후기

부전동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 어려운 문제만 붙잡지 않고 쉬운 문제부터 차분히 풀기 시작했습니다. 선생님은 정한 공부량을 지키도록 도와주고, 질문을 망설일 때도 수업 중간에 자연스럽게 확인해 주셨습니다. 시험 범위를 절반쯤 공부했을 때 스스로 앞부분을 다시 복습하는 모습이 보여 꾸준한 변화가 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기

부전동에서 수학과외를 시작한 뒤 아이가 평일 귀가 후 바로 책상에 앉는 날이 조금씩 늘었습니다. 예전에는 한 문제만 막혀도 쉽게 포기했지만, 선생님이 숙제와 복습 때 정답보다 풀이 과정을 먼저 말하게 하고 질문할 내용을 미리 골라 보게 하셨습니다. 시험기간에도 공부할 분량을 직접 확인하고 시작하는 모습이 보여 안심이 됩니다.

★★★★★학부모 후기