부전동 고2수학과외







곱의 연속성을 거꾸로 점검한 부전동 수업 기록
최종 확인은 불연속 인수가 들어간 곱을 찾는 장면에서 시작했다. 학생은 “곱이 0이 되는 점에서는 인수의 연속성을 따질 필요가 없다”고 적었지만, 이 판단은 곱의 값과 함수의 연속성을 혼동한 데서 비롯되었다. 부전동과외 수업에서는 먼저 각 인수의 연속성을 확인하고, 그다음 곱의 연속성 정리를 적용하도록 풀이 순서를 바꾸었다.
역문제로 확인한 반례
다음 함수를 살펴보자.
q(x)=1 (x≠0), q(0)=2
q는 x=0에서 불연속이다. 그러나 p(x)=xq(x)라 두면
p(x)=x (x≠0), p(0)=0
이고, x→0일 때 p(x)→0=p(0)이므로 p는 x=0에서 연속이다. 따라서 “곱이 연속이면 각 인수도 반드시 연속”이라고 거꾸로 판단할 수는 없다.
절댓값과 다항함수의 곱
문제와 구간 나누기
함수 f(x)=|x-2|(x²-1)의 연속성을 판단하자.
절댓값을 구간별로 쓰면
f(x)=
(2-x)(x²-1), x<2
(x-2)(x²-1), x≥2
이다. x=2를 기준으로 식은 달라지지만, 두 식 모두 다항함수이므로 각각의 구간에서 연속이다.
경계점 검증
경계점 x=2에서
f(2)=|2-2|(2²-1)=0
또한 좌극한과 우극한은 모두 0이다. 따라서 x=2에서도 연속이다. 실제로 |x-2|는 모든 실수에서 연속이고, x²-1도 모든 실수에서 연속이므로 두 함수의 곱인 f 역시 모든 실수에서 연속이다.
오류를 고친 판단 기준
곱이 0이 되는지부터 확인하는 것은 연속성 판단의 기준이 아니다. 특정 점에서 한 인수의 값이 0이어도 다른 인수나 전체 곱의 극한을 따로 확인해야 한다. 가장 안전한 절차는 다음과 같다.
- 각 인수의 정의역과 연속성을 확인한다.
- 절댓값이나 조각함수가 있으면 경계점을 찾는다.
- 각 구간의 연속성과 경계점의 좌극한·우극한·함숫값을 비교한다.
- 모든 인수가 해당 범위에서 연속이면 곱의 연속성 정리를 적용한다.
이 과정을 적용하면 f(x)는 모든 실수에서 연속이며, 단순히 곱의 값이 0이라는 이유로 조건을 생략해서는 안 된다는 점도 함께 확인된다. 지역명보다 문제의 조건과 검증 순서를 중심에 둔 대구고3수학과외식 사고가 필요한 유형이다.