인천서구 고3수학과외
조건을 읽지 않고 이항분포부터 세운 풀이
인천서구의 고3 수학 학습 사례에서 학생은 다음 기출 문제를 해설 없이 다시 풀었다. “성공 확률이 0.4인 독립적인 시행을 5회 반복할 때, 성공 횟수를 확률변수 X라 하자. P(X=3)을 구하여라.” 학생은 문제의 숫자를 확인하자마자 X가 이항분포를 따른다고 판단하고 ₅C₃(0.4)³(0.6)²을 적었다.
계산 자체는 맞았지만, 첫 식을 왜 세웠는지 묻자 “성공 횟수를 구하는 문제이기 때문”이라고만 답했다. 이항분포를 사용할 수 있는 근거인 ‘독립’, ‘매 시행의 성공 확률 일정’, ‘시행 횟수 고정’, ‘성공과 실패의 두 결과’를 문제에서 골라내지 않은 채 유형명과 숫자만 보고 공식을 적용한 것이다. 인천서구고3수학과외에서 확인한 최초의 오류는 계산 실수가 아니라, 식에 들어갈 조건을 판독하지 않은 행동이었다.
식보다 먼저 표시한 네 가지 조건
교정할 때 모든 개념을 다시 설명하지 않고, 문제 문장에 밑줄을 긋는 행동만 제한적으로 사용했다. 학생은 다음 네 항목을 첫 줄 옆에 짧게 적었다.
- 시행 횟수: 5회로 고정
- 각 시행의 결과: 성공 또는 실패
- 성공 확률: 매번 0.4
- 시행 사이의 관계: 서로 독립
그 뒤 첫 식의 근거를 “5회의 독립 시행에서 성공 확률이 매번 0.4로 일정하므로 성공 횟수는 이항분포로 세운다”라고 한 문장으로 설명하게 했다. 식은 그대로 두되, 식 앞에 조건의 출처를 붙인 것이다. 이어 사건과 확률조건을 분리해 적었다. 사건은 ‘5회 중 성공이 정확히 3회’, 확률조건은 ‘각 성공 확률 0.4와 실패 확률 0.6’이었다.
조건 하나를 빼면 같은 식을 쓸 수 있는지 확인하기 위해 반례도 만들었다. “상자에 빨간 공 4개와 파란 공 6개가 있고, 공을 꺼낸 뒤 넣지 않는 과정을 5회 반복한다”는 상황에서는 매번 성공 확률이 달라지고 시행도 독립이 아니다. 따라서 이 경우에는 ₅C₃(0.4)³(0.6)²를 그대로 사용할 수 없다. 학생은 공식보다 먼저 조건을 확인해야 허용되지 않는 상황까지 이항분포로 처리하지 않는다는 점을 풀이표에 남겼다.
문제의 겉모양을 바꾼 적용
며칠 뒤 숫자만 바꾼 문제가 아니라 조건의 위치와 질문을 바꾼 문항을 제시했다. “한 번의 검사에서 양성일 확률이 0.2인 독립적인 검사를 8회 실시한다. 양성 횟수를 Y라 할 때, 양성이 2회 이상일 확률을 구하여라.” 이번에는 성공 횟수 하나만 찾지 않고, 먼저 시행 횟수 8, 성공 확률 0.2, 독립성, 두 결과라는 조건을 표시했다.
그 다음 Y~B(8,0.2)라고 쓴 뒤, 질문이 ‘정확히 2회’가 아니라 ‘2회 이상’임을 확인하여 P(Y=2)+P(Y=3)+…+P(Y=8)으로 범위를 잡았다. 이전 문제의 식을 기억해 옮긴 것이 아니라, 조건을 분리한 뒤 질문의 표현에 맞춰 사건을 다시 구성한 것이다. 특히 ‘이상’이라는 말은 성공 횟수의 허용 범위를 바꾸므로, 이항분포 조건과 사건 조건을 서로 다른 줄에 기록했다.
힌트가 사라진 뒤에도 남은 판단
마지막 확인에서는 해설과 유형명이 가려진 새 문항을 풀게 했다. “불량률이 0.1인 제품을 6개, 서로 독립적으로 검사한다. 불량품 수가 1개 이하일 확률을 구하여라.” 학생은 곧바로 계산하지 않고 먼저 “검사 횟수는 6, 불량과 정상의 두 결과, 불량 확률은 0.1로 일정, 독립”이라고 적었다. 이어 Z~B(6,0.1)을 세우고 P(Z=0)+P(Z=1)을 계산했다.
풀이가 끝난 뒤에는 사용한 조건만 다시 동그라미쳤다. 만약 독립성이 없거나 확률이 매번 달라진다면 같은 분포를 쓸 수 없다는 점도 말로 확인했다. 인천서구고3수학과외에서 본 변화는 정답을 맞힌 사실보다, 새로운 문제에서도 첫 식의 근거를 조건에서 찾고 사건의 범위를 따로 확인했다는 데 있다. 숫자와 문장 순서가 달라져도 조건을 먼저 선별하는 판단이 유지되면서, 이항분포 공식의 암기 풀이가 조건 기반 풀이로 바뀌었다.