인천서구 고1수학과외







인천서구고1수학과외, 시간 제한 속 순열 계산의 기준 세우기
순열 문제를 풀던 학생은 5명 중 회장과 부회장을 정하는 문항에서 곧바로 \(5!\)을 적었다. 하지만 문제는 두 직책에 들어갈 사람만 정하는 상황이어서 모든 사람의 배열을 계산할 필요가 없었다. 계산이 늦어진 원인은 공식이 아니라 선택 대상과 순서를 구분하지 못한 데 있었다.
계산 전에 자리를 먼저 나눈 장면
학생은 회장 자리를 고르는 경우가 5가지이고, 그 뒤 부회장 자리는 4가지라는 점을 순서 번호로 적었다. 따라서 경우의 수는
\(5\times4=20\)
이렇게 정리하자 전체 인원을 한 줄로 배열하는 \(5!\)이 왜 불필요한지 확인할 수 있었다. 교정의 기준은 공식 암기가 아니라 실제로 채워야 하는 자리의 수를 세는 것이었다.
직책 대신 조건표가 주어진 문제로 바꾸어 보기
이번에는 5명의 이름 대신 1번부터 5번까지의 번호가 표에 제시되고, 1번은 회장이 될 수 없다는 조건을 붙였다. 회장 후보는 2, 3, 4, 5번으로 4가지이고, 부회장은 남은 4명 중 선택하므로
\(4\times4=16\)
이 된다. 단순히 숫자만 바꾼 것이 아니라, 문장 속 제한 조건을 먼저 후보 자리에서 제외하는 방식으로 표현을 바꾸어 적용했다.
- 회장: 4가지
- 부회장: 회장을 정한 뒤 4가지
- 전체 경우: \(4\times4=16\)
새 조건에서 결과를 따로 확인하기
처음부터 1번을 제외한 4명 가운데 두 명을 뽑아 직책을 배정한다고 보면, 선택된 두 사람을 회장과 부회장으로 나누는 순서가 2가지씩 생긴다. 따라서
\(\binom{4}{2}\times2=6\times2=12\)
가 아니라, 회장 후보 4명과 부회장 후보 4명을 직접 세는 앞의 계산과 비교해야 한다. 이 두 식이 다르므로 학생은 조건을 잘못 옮겼음을 발견했다. 실제 조건이 “1번은 회장이 될 수 없다”뿐이라면 부회장은 1번도 가능하므로 정답은 \(4\times4=16\)이다. 최종적으로 학생은 조건에 없는 제한을 임의로 추가하지 않고, 각 자리의 후보를 분리해 순열 계산을 마쳤다.