인천서구 고2수학과외







결과를 먼저 확인하는 독립사건 문제
인천서구과외 수업에서 다음 명제를 검토했다. 사건 A와 B가 독립이면 여사건을 포함한 조합도 독립인가?
최종 확인 장면
정답은 그렇다. A와 B가 독립이면 다음 네 조합이 모두 독립이다.
P(A∩B)=P(A)P(B),
P(Ac∩B)=P(Ac)P(B),
P(A∩Bc)=P(A)P(Bc),
P(Ac∩Bc)=P(Ac)P(Bc)
오답 원인 역추적
학생은 “여사건을 취하면 독립성이 사라진다”고 판단했다. 그러나 독립의 정의는 여사건이 포함되었다는 이유만으로 달라지지 않는다.
실제로
P(Ac∩B)=P(B)-P(A∩B) =P(B)-P(A)P(B) =(1-P(A))P(B) =P(Ac)P(B)
이므로 Ac와 B도 독립이다.
조건을 바꾸어 적용하기
두 여사건의 경우
마찬가지로 전체 확률에서 A 또는 B가 일어나는 경우를 제외하면
P(Ac∩Bc) =1-P(A∪B) =1-P(A)-P(B)+P(A∩B)
=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B) =(1-P(A))(1-P(B)) =P(Ac)P(Bc)
가 된다. 따라서 Ac와 Bc도 독립이다.
문제 풀이 기준
문제에서 “A와 B가 독립”이라고 주어지면 A, B뿐 아니라 Ac, Bc를 조합한 사건의 독립성도 확인할 수 있다. 다만 독립성은 자동으로 가정하는 것이 아니라 위와 같은 확률식으로 검증해야 한다.