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인천서구 고2수학과외

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결과를 먼저 확인하는 독립사건 문제

인천서구과외 수업에서 다음 명제를 검토했다. 사건 A와 B가 독립이면 여사건을 포함한 조합도 독립인가?

최종 확인 장면

정답은 그렇다. A와 B가 독립이면 다음 네 조합이 모두 독립이다.

P(A∩B)=P(A)P(B),
P(Ac∩B)=P(Ac)P(B),
P(A∩Bc)=P(A)P(Bc),
P(Ac∩Bc)=P(Ac)P(Bc)

오답 원인 역추적

학생은 “여사건을 취하면 독립성이 사라진다”고 판단했다. 그러나 독립의 정의는 여사건이 포함되었다는 이유만으로 달라지지 않는다.

실제로

P(Ac∩B)=P(B)-P(A∩B) =P(B)-P(A)P(B) =(1-P(A))P(B) =P(Ac)P(B)

이므로 Ac와 B도 독립이다.

조건을 바꾸어 적용하기

두 여사건의 경우

마찬가지로 전체 확률에서 A 또는 B가 일어나는 경우를 제외하면

P(Ac∩Bc) =1-P(A∪B) =1-P(A)-P(B)+P(A∩B)

=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B) =(1-P(A))(1-P(B)) =P(Ac)P(Bc)

가 된다. 따라서 Ac와 Bc도 독립이다.

문제 풀이 기준

문제에서 “A와 B가 독립”이라고 주어지면 A, B뿐 아니라 Ac, Bc를 조합한 사건의 독립성도 확인할 수 있다. 다만 독립성은 자동으로 가정하는 것이 아니라 위와 같은 확률식으로 검증해야 한다.

인천서구 고2수학과외 학부모 후기

잠들기 전 불을 끄러 아이 방에 들어갔다가 책상 위 시험지를 잠깐 보게 됐어요. 한쪽 귀퉁이에 검산할 문제 번호만 따로 적어 둔 게 눈에 들어오더라고요. 문제를 전부 다시 보는 게 아니라, 마지막에 확인할 것만 골라 놓은 모습이 조금 낯설었습니다. 전에는 헷갈렸던 부분을 따로 추려 두기보다 자료 전체를 처음부터 반복해서 보는 편이었거든요. 그래서 그 표시가 단순히 문제를 풀었다는 흔적보다 더 구체적으로 느껴지더라고요. 인천서구 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 변화가 있었나 싶어 시험지를 다시 들여다봤습니다. 모의고사 문제를 새로 펼친 날에도 비슷한 장면이 보이더라고요. 다 풀고 나서 검산할 번호를 따로 모아 두고, 다음에 이어서 볼 수 있도록 표시해 두었더라고요. 이번에는 확인할 대상을 먼저 좁혀 둔 채 연필로 번호 옆에 작은 표시를 남겨 두었습니다.

★★★★★학부모 후기

새 풀이 노트를 만든 날, 계산이 길게 이어지는 문제를 보고 아이가 처음부터 다시 풀지 않더라고요. 잠시 적어 내려간 풀이를 살펴보다가 틀린 줄 바로 앞에 펜을 대고 그 지점부터 이어 갔어요. 인천서구 수학과외 이야기를 나누며 노트를 정리하던 중이라 저도 옆에서 자연스럽게 보게 됐습니다. 예전에는 어디서 잘못됐는지 찾기보다 답을 맞히는 데 더 마음을 썼고, 틀린 문제도 정답만 확인하려는 편이었거든요. 그런데 이번에는 계산한 부분을 전부 지우지 않고 오류가 생긴 앞줄부터 다시 확인하는 모습이 달랐어요. 다음 주 교과서를 펼쳤을 때도 긴 계산 문제에서 같은 방식으로 멈췄습니다. 앞부분을 다시 건드리지 않고 잘못된 줄 직전으로 돌아가 필요한 한 장면만 정리한 뒤, 그대로 공부를 마쳤어요.

★★★★★학부모 후기

인천서구에서 수학과외를 시작하기 전에는 집중이 금방 흐트러져 숙제도 늘 마지막에 몰아서 하곤 했습니다. 수업을 마친 뒤에는 한 문제를 거의 다 풀고도 선생님께 먼저 궁금한 점을 물어봤고, 틀린 이유도 차분히 함께 찾아 주셔서 공부가 예전보다 편해졌다고 느꼈습니다.

★★★★★학부모 후기

학원 일정이 바뀌어 귀가가 늦어진 날에도 선생님은 아이의 집중 상태를 세심하게 살펴 수업량을 무리하게 늘리지 않으셨습니다. 인천서구에서 과외를 시작할 때만 해도 문제를 많이 보면 부담스러워하고 풀이를 다시 확인하지 않았는데, 이제는 수업 전에 궁금한 문제를 표시해 둡니다. 결과만 전하기보다 그날의 태도와 이해 정도까지 알려 주셔서 부모로서 믿음이 갔습니다.

★★★★★학부모 후기

인천서구에서 수학과외를 시작한 뒤, 아이가 모르는 문제를 만나도 예전처럼 답만 맞히고 넘어가려 하지 않아 기억에 남았습니다. 선생님은 밀린 숙제를 한꺼번에 재촉하지 않고 먼저 볼 문제를 함께 정해 주셨고, 아이가 다시 질문하기 편한 분위기를 만들어 주셨습니다. 시험기간에도 해야 할 복습이 분명해져 수업 후 스스로 책상에 앉는 모습이 눈에 띄었습니다.

★★★★★학부모 후기