연수구 고3수학과외

정답보다 먼저 찾아낸 한 줄의 어긋남

연수구 생활권에서 수능형 확률 문항을 복기하던 학생의 풀이에는 계산 자체가 틀린 흔적이 없었다. 문제는 “성공 확률이 \(p\)인 독립 시행을 5회 했을 때, 적어도 한 번 성공했다는 조건 아래 정확히 2회 성공할 확률”을 묻고 있었다. 학생은 곧바로 \({5\choose2}p^2(1-p)^3\)을 적고 계산을 이어 갔다. 이 식은 ‘정확히 2회 성공’이라는 사건의 확률로는 맞지만, 조건이 붙은 확률의 답은 아니다.

계산이 아니라 선택의 출발점을 되짚다

학생에게 해설의 중간식 한 줄을 가린 채 자신의 풀이와 정답을 나란히 놓게 했다. 두 계산 결과가 달라진 지점을 뒤에서부터 찾자, 곱셈이나 조합 계산이 아니라 첫 식을 고른 순간이 표시되었다. 학생은 사건 \(A=\{X=2\}\)만 읽고, 조건 \(B=\{X\ge1\}\)를 표본공간을 바꾸는 정보로 처리하지 않았다.

따라서 정답은 단순히 \(P(X=2)\)가 아니라

P(X=2｜X≥1) = P(X=2∩X≥1) / P(X≥1)

이다. \(X=2\)이면 이미 \(X\ge1\)이므로 분자는 \(P(X=2)\)가 되고, 분모는 \(1-P(X=0)\)이 된다. 결국 답은 \(\dfrac{{5\choose2}p^2(1-p)^3}{1-(1-p)^5}\)이다. 학생은 뒤 계산을 다시 하는 대신, 조건이 붙은 순간 분모가 전체 표본공간에서 조건을 만족하는 경우로 바뀌어야 한다는 점을 첫 줄 옆에 적었다. 이처럼 연수구과외 수업에서도 오답의 마지막 숫자보다 최초의 확률조건 선택을 먼저 추적하게 했다.

사건의 순서와 가중치를 분리한 교정

다음 복기에서는 식을 바로 쓰지 못하게 하고, 문제 문장을 두 칸으로 나누었다. 왼쪽에는 “무엇을 알고 싶은가”를, 오른쪽에는 “어떤 경우만 남기는가”를 기록하게 했다. 왼쪽에는 \(X=2\), 오른쪽에는 \(X\ge1\)을 썼다. 그 뒤 오른쪽 조건에 맞는 표본공간의 크기를 \(P(X\ge1)\)로 따로 계산했다.

이 교정은 ‘정확히 두 번 성공하는 배열을 고르는 일’과 ‘그 배열에 붙는 확률 가중치’를 섞지 않게 하는 행동이었다. 예를 들어 \(p=\frac12\)라면 분자는 \({5\choose2}(\frac12)^5=\frac5{16}\), 분모는 \(1-(\frac12)^5=\frac{31}{32}\)이므로 조건부확률은 \(\frac{5}{16}\div\frac{31}{32}=\frac5{31}\)이다. 학생은 \(\frac5{16}\)에서 멈추면 조건을 반영하지 않은 값이라는 것을 직접 확인했다.

표현을 바꿔도 같은 판단이 나오는가

며칠 뒤 숫자를 바꾸는 대신 문제의 표현을 바꾸었다. 이번에는 5번의 독립 시행 결과를 표로 제시하고, “성공 횟수가 0인 행은 이미 제외되었다. 남은 행 중 성공 횟수가 2인 비율을 구하라”고 했다. 이항분포라는 말도, 조건부확률 기호도 제시하지 않았다.

학생은 먼저 성공 횟수를 \(X\)로 정한 뒤 \(X=2\)와 \(X\ge1\)을 각각 표시했다. 표의 행을 단순히 세는 것이 아니라 각 행의 확률이 같지 않을 수 있음을 확인하고, 원래 시행 모형에서 \(P(X=2)\)와 \(P(X\ge1)\)를 계산해 비율을 만들었다. 자료 제시 순서가 식에서 표로 바뀌었어도 ‘관심 사건’과 ‘남겨진 조건’을 분리하는 행동은 유지되었다.

힌트 없이 오류의 시작점을 찾은 기록

마지막 검증에서는 “불량품이 한 개 이상 포함된 상자 중 정확히 두 개가 불량일 확률”을 다뤘다. 불량 여부가 서로 독립이고 각 불량 확률이 \(p\), 상자에 5개가 들어 있다는 조건만 주었다. 학생은 곧바로 \({5\choose2}p^2(1-p)^3\)을 쓰지 않고, 먼저 \(X\sim B(5,p)\), 관심 사건 \(X=2\), 조건 사건 \(X\ge1\)을 적었다.

또 조건 사건과 관심 사건의 교집합이 \(X=2\) 자체라는 이유를 설명한 뒤, 분모를 \(P(X\ge1)\)로 두었다. 일부 계산값을 가린 상태에서도 “이 식은 분자일 뿐”이라고 오류 위치를 지적했고, 마지막에는 자신이 만든 답을 조건부확률의 범위 \(0\le P\le1\)와 대조했다. 인천연수구고3수학과외 학습에서 확인할 최종 기준도 정답 암기가 아니라, 새로운 표현 속에서 조건이 표본공간을 어떻게 바꾸는지 스스로 찾아내는가에 두었다.