연수구 고1수학과외







연수구 고1수학과외, 조건이 붙은 배열에서 순서를 놓친 사례
문제는 “서로 다른 네 명을 한 줄로 세우되, 두 사람은 이웃하지 않는다”는 조건을 제시했다. 학생은 네 명을 고르는 과정과 줄 세우는 과정을 분리하지 않고, 전체 배열 수에서 조건을 만족하지 않는 경우를 한 번에 빼려 했다.
배열의 대상과 조건을 분리하다
학생의 계산은 답까지 도달했지만, 특정 두 사람이 이웃한 배열을 정확히 세고 있는지 설명하기 어려웠다. 특히 조건에 해당하는 경우와 그렇지 않은 경우가 겹칠 수 있어 단순한 뺄셈으로는 누락 여부를 판단하기 힘들었다.
조건이 붙은 배열에서는 먼저 ‘무엇을 배열하는가’와 ‘어떤 배열을 제외하는가’를 구분해야 한다.
금호아파트 인근에서 진행한 풀이에서는 두 사람을 하나의 묶음으로 보는 방식만 사용했다. 두 사람의 내부 순서가 달라질 수 있다는 점을 반영해 묶음의 배열과 내부 배열을 따로 세자, 제외해야 할 경우의 의미가 분명해졌다.
조건의 위치를 바꾼 문제에 적용하기
다음에는 네 명 중 특정 한 사람이 양 끝자리에 오지 않도록 하는 문제를 제시했다. 숫자만 바꾼 것이 아니라, ‘이웃하지 않음’에서 ‘끝자리를 피함’으로 조건의 위치를 바꾸었다. 학생은 전체 배열을 세운 뒤 해당 사람이 끝에 있는 배열을 분리해 처리했고, 조건이 어느 대상에 붙어 있는지 먼저 표시했다.
- 전체 배열: 4!
- 특정 사람이 양 끝에 있는 배열: 2×3!
- 조건을 만족하는 배열: 4!−2×3!
계산 결과는 12로 정리되었다. 이 과정에서 학생은 조건이 사람에게 붙는지, 사람 사이의 관계에 붙는지에 따라 세는 방식이 달라진다는 점을 확인했다.
처음 보는 조건에서 독립적으로 확인하기
마지막에는 “A와 B가 반드시 이웃하고 C는 양 끝에 오지 않는다”는 문제를 제시했다. 학생은 먼저 A와 B를 묶어 배열한 뒤, C의 위치가 양 끝인지 확인하는 순서로 풀이를 재구성했다. 이후 가능한 배열 하나를 직접 적어 조건을 모두 만족하는지 확인하고, 묶음의 내부 순서를 빠뜨리지 않았는지도 점검했다.
연수구 고1수학과외 학습에서는 공식을 외우는 것보다 조건이 배열의 대상과 어떤 관계를 맺는지 구별하는 데 초점을 두었다. 조건의 표현이 달라져도 배열 단위와 제외 단위를 나누면 풀이의 근거를 유지할 수 있다.