미추홀구 중1수학과외

표 하나에서 시작한 정비례 관계 풀이

미추홀구과외 수업에서 학생은 인주중학교가 포함된 생활권의 학원 숙제로 다음 문제를 가져왔다. “물 1분에 3L씩 나오는 수도꼭지가 있다. 시간에 따른 물의 양을 표와 식, 그래프로 나타내고, 물이 0L인 순간도 정비례 관계에 포함되는지 판단하라.” 대성유니드 아파트가 있는 생활권에서 접하는 일상적인 상황처럼 보였지만, 학생은 계산보다 관계의 조건을 먼저 구분해야 했다.

학생이 남긴 첫 풀이

학생은 표에 시간 1, 2, 4, 5를 적고 물의 양을 3, 6, 12, 15로 채웠다. 이어 공책에 y=3x를 썼다. 여기까지는 각 시간에 물의 양을 대응시킨 과정이 자연스러웠다. 그래프를 그릴 때도 가로축에 시간, 세로축에 물의 양을 표시하고 점 (1, 3), (2, 6), (4, 12), (5, 15)를 찍었다.

문제가 된 부분은 원점을 표시하는 순간이었다. 학생은 “표에 시간이 0인 줄이 없으므로 (0, 0)은 넣지 않는다”고 적은 뒤, 네 점만 연결했다. 또 다른 문항에서 “수도꼭지를 잠근 뒤의 시간도 생각하라”는 조건이 나오자, 앞에서 사용한 정비례 식을 그대로 적용해 음수 시간까지 그래프에 표시하려 했다.

표에 실제로 주어진 값과, 관계식이 허용하는 값을 나누어 보지 않고 한 가지 규칙으로 모두 처리한 것이 첫 어긋남이었다.

경계에서 조건을 다시 읽다

학생의 계산 자체를 지우지는 않았다. 대신 표 옆에 “표에 제시된 값”과 “상황에서 가능한 값”을 따로 적게 했다. 시간은 수도꼭지를 연 뒤의 시간이므로 0 이상이어야 한다. 따라서 음수 시간은 이 상황에서 사용할 수 없고, 시간 0에서는 물의 양도 0이다. 이 조건을 확인한 뒤 학생은 표에 (0, 0)을 추가하고, 그래프의 점들을 원점까지 이어 원점을 지나는 직선의 한 부분으로 나타냈다.

정비례인지 확인할 때는 단순히 값이 커지는지만 보지 않고, 물의 양을 시간으로 나눈 값이 일정한지 살폈다. 3÷1=3, 6÷2=3, 12÷4=3, 15÷5=3이므로 관계식은 y=3x이다. 새로 넣은 (0, 0)은 식에 대입해도 0=3×0이 성립한다. 반면 시간 -1을 넣으면 물의 양이 -3L가 되어 실제 상황의 조건과 맞지 않는다. 식이 계산된다는 사실과 상황에 적용할 수 있다는 사실을 구별한 것이다.

표를 문장과 그래프로 바꾸어 확인하기

다음 문제는 숫자를 바꾼 문제가 아니었다. “한 봉지에 같은 양의 사료가 들어 있고, 봉지 수와 전체 무게의 관계를 설명한 문장을 식과 그래프로 나타내라”는 형태였다. 학생은 먼저 문장에서 봉지 수를 x, 전체 무게를 y로 정했다. 한 봉지의 무게가 2kg이라는 조건을 찾아 y=2x라고 썼고, 봉지 수는 0, 1, 2, 3처럼 셀 수 있는 값이라는 점을 표 아래에 표시했다.

표에는 (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6)을 적었다. 그래프에서는 가로축을 봉지 수, 세로축을 무게로 정한 뒤 해당 점만 찍었다. 선을 무한히 뻗는 대신, 문제의 대상이 봉지 수라는 조건 때문에 음수 쪽과 실제로 셀 수 없는 값을 사용하지 않는다고 설명했다. 같은 정비례 관계라도 문장에 포함된 단위와 가능한 범위를 먼저 읽어야 한다는 점을 풀이에 반영했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

수업 끝에 학생은 처음 수도꼭지 문제를 공책을 덮은 상태에서 다시 풀었다. “시간을 x분, 물의 양을 yL라 하면 1분에 3L이므로 y=3x이다. x가 0 이상이어야 하므로 그래프는 원점에서 시작한다. 표의 (2, 6)을 식에 넣으면 6=3×2, (5, 15)를 넣으면 15=3×5이므로 대응이 맞다. x=-1은 물의 양이 -3L가 되어 이 상황에서는 제외한다”고 직접 설명했다.

마지막으로 새로운 표에서 시간 0, 3, 7에 대응하는 물의 양을 묻자, 학생은 먼저 시간의 범위를 표시하고 y=3x를 세운 뒤 0, 9, 21을 구했다. 결과를 식에 다시 넣어 모두 성립하는지 확인했고, 그래프가 원점을 지나며 주어진 범위에서만 사용된다는 이유도 덧붙였다. 미추홀구중1수학과외에서 확인한 핵심은 정답 숫자가 아니라, 표·식·그래프·문장을 오갈 때 조건과 대응값을 끝까지 대조하는 풀이 순서였다.