미추홀구 고3수학과외
결론에서 거꾸로 찾은 분산의 경계
미추홀구 생활권에서 수능 수학을 준비하는 학생의 오답 노트에는 다음과 같은 풀이가 남아 있었다.
“자료의 흩어진 정도가 커지면 표준편차도 항상 커진다.”
처음에는 이 문장을 일반적인 통계 규칙처럼 받아들였다. 그러나 역으로 주어진 결론에서 출발해 보니, 문제가 묻는 것은 단순한 크기 비교가 아니라 경계값에서 분산과 표준편차의 판단이 유지되는지였다. 분산은 제곱 단위이고 표준편차는 그 제곱근이라는 차이도 함께 확인해야 했다.
오답이 시작된 지점
자료가 1, 3, 5일 때 평균은 3이고 분산은
((1-3)²+(3-3)²+(5-3)²)/3=8/3
이다. 학생은 여기서 양 끝값을 평균에서 더 멀리 옮기면 분산이 증가한다고 판단했다. 이 자체는 일반적인 구간에서는 맞지만, 새로운 조건에서 자료의 값이 평균을 중심으로 움직이는 범위가 제한되자 같은 규칙을 끝점에 그대로 적용했다.
최초의 어긋남은 계산 실수가 아니었다. 예외가 생길 수 있는 경계값을 따로 확인하지 않고, 일반 구간에서 성립하던 비교를 끝점까지 확장한 행동이었다. 특히 결론이 “표준편차가 2 이하”라고 먼저 제시된 역문제에서, 학생은 그 결론을 만든 후보를 확인하기보다 익숙한 증가 규칙부터 적용했다.
일반 구간과 끝점을 갈라 세우기
풀이 줄을 다시 적을 때는 한 곳만 바꾸었다. 매개변수의 범위를
0≤t≤2
로 두고, 일반 구간 0<t<2와 두 끝점 t=0, 2를 별도 줄에 표시했다. 그 다음 평균에서의 편차를 먼저 적어 분산을 계산했다.
예를 들어 자료가 3-t, 3, 3+t라면 평균은 언제나 3이고 분산은
(t²+0+t²)/3=2t²/3
이다. 표준편차는 √(2t²/3)=√(2/3)|t|이므로, 0≤t≤2에서는 t가 커질수록 증가한다. 다만 t=0에서는 모든 자료가 평균과 같아 분산과 표준편차가 동시에 0이 된다. 학생은 일반식만 보고 결론을 내리지 않고, 끝점을 실제 식에 대입해 이 예외가 규칙을 깨는지 확인했다.
또한 표준편차의 조건을 분산 조건으로 바꿀 때는 음수가 될 수 없다는 사실을 옆에 적었다. 예를 들어 표준편차가 2 이하라면 분산은 4 이하이지, 분산이 2 이하인 것은 아니다. 이 구분으로 단위와 경계값을 함께 바로잡았다.
조건 하나를 뺐을 때 드러난 반례
독립 적용에서는 자료를 숫자 세 개가 아니라, 평균에서의 편차가 -t, 0, t가 되도록 주어 놓고 “표준편차가 1 이상이 되는 매개변수의 범위”를 묻게 했다. 앞 문제의 결론을 기억해서 답하지 못하도록, 이번에는 t에 정수 조건을 붙이지 않았다.
분산은 여전히 2t²/3이고, 표준편차가 1 이상이라는 조건은
√(2/3)|t|≥1, 즉 |t|≥√(3/2)
이다. 여기서 t≥0이라는 조건을 삭제했으므로 음의 구간도 남겨야 한다. 학생은 “자료의 순서”가 바뀌어도 편차의 제곱합은 같다는 점을 이용했지만, 매개변수의 허용 범위가 달라지면 해의 개수와 경계가 달라진다는 사실을 따로 표시했다.
미추홀구과외 수업에서 이 장면을 다시 다룰 때도 새로운 공식은 추가하지 않고, 일반구간과 예외구간을 나누는 한 행동만 반복했다. 분산과 표준편차의 관계를 말할 때는 먼저 분산의 범위를 제곱한 뒤, 마지막에 제곱근을 취하는 순서를 지켰다.
표시를 지운 뒤 남은 판단
다음 날에는 그래프의 일부와 풀이 표시를 가린 채, “자료의 평균이 4이고 편차가 -a, 0, a일 때 표준편차가 3보다 작거나 같은 정수 a를 구하라”는 문제를 제시했다. 학생은 먼저 a의 허용 조건을 확인하고, 분산을 2a²/3으로 세운 뒤
√(2a²/3)≤3
에서 |a|≤3√(3/2)을 얻었다. 정수 조건이 없다는 점을 놓치지 않고 음의 후보도 검토했으며, 자료의 편차라는 의미상 a≥0인지 문제 조건을 다시 읽어 판단했다.
끝으로 선택한 후보를 원래 자료에 대입해 평균이 4로 유지되는지, 계산한 표준편차가 실제로 3 이하인지 확인했다. 힌트 없이도 일반식만 믿지 않고 경계 전후를 나누고, 조건이 사라진 만큼 후보를 되살린 것이다. 인천 지역에서 고3수학과외를 진행할 때도 이처럼 정답보다 먼저 오류가 시작된 줄과 경계값의 근거를 확인하도록 풀이를 점검했다.