청라동 중3수학과외

청라동 중3수학과외, 45도에서 변의 역할부터 확인하기

청라동과외 수업에서는 웰카운티17단지와 청라중흥S클래스2단지가 있는 생활권에서 자습하는 학생의 풀이 기록을 바탕으로 한 가지 세부 개념만 점검했습니다. 인천청라중학교가 포함된 생활권의 중3수학 문제에서도 자주 보이는 장면이지만, 이번 기준은 넓히지 않고 45° 기준각에서 삼각비에 사용할 변을 정확히 고르는 것으로 한정했습니다.

답보다 먼저 적힌 선택

도서관 자습 시간에 다음 문제를 풀었습니다.

직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°, ∠A=45°, BC=6cm일 때 AB의 길이를 구하여라.

학생은 그림을 본 뒤 문제의 45°에 동그라미를 치지 않고, 예전에 풀었던 순서를 떠올려 곧바로 다음과 같이 적었습니다.

sin45° = 6 / AB

그다음 sin45°=√2/2를 대입하여

√2/2 = 6/AB, AB=6√2

이라고 계산했습니다. 계산 과정 자체는 매끄러웠지만 식의 첫 줄에서 이미 기준이 어긋났습니다. ∠A를 기준으로 보면 BC는 기준각의 맞은편 변이고, AB는 직각의 맞은편이 아니라 직각을 마주 보는 빗변입니다. 따라서 ‘6과 AB를 어떤 순서로 연결할까’를 결정하기 전에 기준각을 먼저 확인해야 했습니다.

처음 틀어진 한 지점만 되돌리기

풀이 전체를 다시 외우게 하지 않고, 첫 식을 쓰기 직전의 행동 하나만 바꾸었습니다. 학생은 그림에 ∠A를 진하게 표시한 뒤, 기준각에서 보이는 변의 역할을 짧게 적었습니다.

• 기준각: ∠A=45°
• 직각의 맞은편: AB, 빗변
• 기준각의 맞은편: BC=6cm

이번에는 필요한 두 변이 ‘맞은편 변과 빗변’이라는 점을 확인하고 비를 세웠습니다.

sin45° = BC/AB = 6/AB

따라서 √2/2=6/AB이고, AB=6√2cm입니다. 앞서 계산한 결과는 우연히 같았지만, 이번에는 기준각과 두 변의 역할을 확인한 뒤 얻은 값입니다. 교정한 행동은 여러 풀이법을 추가한 것이 아니라 식을 세우기 전에 기준각과 두 변을 표시하는 것 하나였습니다.

그림이 돌아가도 기준은 움직이지 않는다

며칠 뒤에는 모양을 바꾼 문제를 제시했습니다.

직각삼각형 PQR에서 ∠Q=90°, ∠R=45°이다. 빗변 PR의 길이가 10cm일 때, ∠R의 맞은편 변 PQ의 길이를 구하여라.

이번 문제에서는 45°가 오른쪽 아래에 있고, 미지수는 왼쪽 변에 놓였습니다. 학생은 먼저 ∠R에 표시하고, PR은 직각의 맞은편이므로 빗변, PQ는 ∠R의 맞은편 변이라고 적었습니다. 이후

sin45° = PQ/PR = PQ/10

으로 세워 √2/2=PQ/10, PQ=5√2cm을 얻었습니다. 이전 문제처럼 주어진 변이 6인 형태가 아니며, 미지변의 위치와 그림의 방향도 달랐지만 기준각에서 변의 역할을 먼저 정했기 때문에 같은 삼각비를 올바르게 선택했습니다.

힌트가 사라진 뒤의 확인

한 주 뒤에는 풀이 순서나 삼각비 이름을 알려 주지 않고 다음 문제를 풀게 했습니다.

직각삼각형 XYZ에서 ∠Z=90°, ∠X=45°이고 XY=14cm이다. ∠X에서 맞은편에 있는 변의 길이를 구한 뒤, 선택한 삼각비가 맞는지 설명하여라.

학생은 먼저 ∠X를 표시하고 XY는 직각의 맞은편인 빗변, YZ는 ∠X의 맞은편 변이라고 설명했습니다. 그래서

sin45° = YZ/XY = YZ/14

를 세워 YZ=7√2cm을 구했습니다. 마지막에는 구한 값을 원래 비에 다시 넣어

7√2/14 = √2/2

가 되어 45°의 삼각비와 일치한다고 확인했습니다. 정답만 말한 것이 아니라, 새로운 그림에서도 먼저 기준각을 정하고 변의 역할을 근거로 식을 선택한 뒤 원래 삼각비에 대입해 검산했습니다. 이것이 이번 청라동중3수학과외에서 확인한 독립 재현입니다.