코사인법칙과 사인법칙, 미지수와 정보 배열로 선택하기
최종 검증에서 학생은 먼저 구하려는 값과 이미 주어진 값을 표시했다. 그 결과 익숙하다는 이유로 법칙을 고르는 대신, 한 단계 뒤 미지수가 하나만 남는 식을 선택해야 한다는 점이 드러났다. 청라동과외 수업에서도 이 기준을 적용하면 두 법칙을 혼동하는 실수를 줄일 수 있다.
두 풀이의 결과가 달라진 이유
같은 삼각형에서 출발한 잘못된 선택
삼각형 ABC에서 b=7, c=5, ∠A=60°이고 변 a를 구한다고 하자. 두 변과 그 끼인각이 주어졌으므로 코사인법칙이 직접 연결된다.
a²=b²+c²−2bc cos A
a²=7²+5²−2·7·5·cos60°=49+25−35=39
따라서 a=√39이다.
사인법칙을 먼저 쓰면 다른 각이나 마주 보는 변이 추가로 필요하다. 결국 미지수가 더 생기므로, 익숙한 법칙부터 적용한 것이 최초 오류였다.
정보 배열을 먼저 세기
| 주어진 정보 | 우선 검토할 법칙 | 이유 |
|---|---|---|
| 두 변과 끼인각 | 코사인법칙 | 구하려는 변만 미지수로 남음 |
| 한 변과 그 맞은편 각, 다른 각 | 사인법칙 | 변과 맞은편 각의 비를 바로 연결 |
| 세 변 | 코사인법칙 | 각을 계산할 수 있음 |
| 두 각과 한 변 | 사인법칙 | 나머지 각을 구한 뒤 변의 비를 계산 |
조건 배열을 바꾼 비교 문제
사인법칙이 더 직접적인 경우
이번에는 ∠A=30°, ∠B=45°, a=6일 때 변 b를 구한다. 변 a와 그 맞은편 각 A가 주어지고, b의 맞은편 각 B도 주어졌으므로 사인법칙을 사용한다.
a/sin A=b/sin B
6/sin30°=b/sin45°
b=6·sin45°/sin30°=6√2
이 문제에 코사인법칙을 적용하려면 다른 변의 길이가 더 필요하다. 현재 정보만으로는 사인법칙이 미지수를 하나만 남긴다.
최종 확인 절차
- 구하려는 변이나 각에 표시한다.
- 주어진 변과 각의 맞은편 관계를 확인한다.
- 두 변과 끼인각이면 코사인법칙을 우선 선택한다.
- 맞은편 변·각의 쌍이 있으면 사인법칙을 우선 선택한다.
- 식에 대입한 뒤 미지수가 하나만 남는지 확인한다.
따라서 법칙 선택의 핵심은 공식 암기가 아니라 정보의 배치다. 청라동고3수학과외에서는 문제를 읽자마자 미지수와 주어진 조건을 표로 정리한 뒤, 더 직접적인 법칙을 고르게 한다.