청라국제도시 중3수학과외

청라국제도시 중3수학과외, 기준각에서 시작한 높이와 거리 풀이

청라국제도시과외 수업에서 학교 프린트의 높이와 거리 문제를 함께 확인했습니다. 인천청라중학교가 포함된 생활권이나 가좌마을1.2단지 인근 생활권에서 비슷한 유형을 접하는 학생이라면, 계산보다 먼저 삼각형의 어느 각을 기준으로 삼는지가 풀이의 방향을 결정합니다. 이번 수업은 여러 삼각비를 넓게 다루지 않고, 기준각에 맞는 두 변의 역할을 확인해 삼각비를 선택하는 것에만 초점을 맞췄습니다.

완성된 풀이에서 거꾸로 찾은 첫 갈림길

프린트 문제는 다음과 같았습니다.

지면의 한 점 P에서 탑의 밑부분까지의 수평거리는 24m이다. P에서 탑 꼭대기를 올려다본 각이 30°일 때, 탑의 높이를 구하여라.

학생은 그림에 탑의 높이를 세로로 ㉠, 지면의 거리를 가로로 ㉡이라고 표시했습니다. 그런데 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.

tan 30° = ㉠/㉡, ㉠ = 24tan 30° = 8√3

이 계산 자체는 맞아 보였지만, 답안의 높이는 8√3m가 되어 있었습니다. 완성된 풀이를 뒤에서 읽으며 정답만 고치는 대신, 결과가 달라지기 시작한 지점을 찾았습니다. 학생은 각도 30°를 표시하기 전에 ‘높이와 주어진 거리로 이루어진 비’라고 생각하고 바로 두 변을 선택했습니다. 즉, 가장 먼저 어긋난 판단은 계산이 아니라 기준각을 확인하기 전에 변의 역할을 정한 것이었습니다.

이 문제에서 기준각은 P에 있는 30°입니다. 기준각을 기준으로 보면 탑의 높이 ㉠은 맞은편 변이고, 지면의 거리 24m는 기준각에 붙어 있는 변입니다. 따라서 높이와 거리를 연결하는 비는 tan 30°가 맞습니다. 다만 탑의 밑부분이 지면에 있고 높이가 따로 주어지지 않았으므로, 식은

tan 30° = 높이/24

가 되어야 합니다. tan 30° = √3/3이므로 높이는 24×√3/3 = 8√3m입니다. 처음 답이 틀린 이유는 tan을 고른 것보다, 기준각과 각 변의 위치를 표시하지 않은 채 식을 옮겨 적은 데 있었습니다.

다시 푼 것은 식 전체가 아니라 표시 한 가지

교정할 때 학생에게 풀이를 처음부터 다시 쓰게 하지 않았습니다. 이미 계산한 tan 30° = √3/3은 그대로 두고, 그림의 P에 동그라미를 친 뒤 기준각에서 변을 바라보게 했습니다. 그리고 세로 높이에는 ‘맞은편’, 수평거리에는 ‘붙은 변’이라고 한 번씩 표시했습니다. 그 뒤에만

√3/3 = h/24

를 세워 h = 8√3을 얻었습니다. 이 한 가지 표시가 들어가자, ‘높이가 분자에 놓이는 이유’를 식과 연결해서 설명할 수 있었습니다.

학생은 처음에는 “높이를 구하니까 높이를 위에 쓴다”고 말했지만, 교정 후에는 “P의 30°를 기준으로 봤을 때 높이가 맞은편이고 24m가 붙은 변이므로, 맞은편과 붙은 변의 비를 사용한다”고 풀이 옆에 적었습니다. 정답을 외운 것이 아니라 기준각에서 변의 역할을 다시 선택한 것입니다.

표현을 바꾼 새 문제에서 확인한 선택

다음 시간에는 숫자만 바꾼 문제를 피하고, 그림의 질문 방향을 바꾸었습니다.

높이 15m인 가로등 끝에서 지면의 한 점 Q를 내려다본 선분이 가로등과 이루는 각은 40°이다. 가로등 밑부분과 Q 사이의 거리를 x라 할 때, x와 15m를 연결하는 삼각비를 쓰고 x를 구하여라.

이번에는 각이 Q가 아니라 가로등 꼭대기 쪽에 표시되어 있었습니다. 학생은 먼저 그 각을 기준각으로 표시하고, 높이 15m는 기준각에 붙은 변, 거리 x는 맞은편 변이라고 말했습니다. 그래서

tan 40° = x/15

를 세웠습니다. 문제에서 직접 요구한 것은 거리였지만, 질문 방향에 끌려 삼각비를 거꾸로 정하지 않고 기준각에서 두 변의 역할을 먼저 확인한 점이 달라졌습니다. 계산 과정에서 x = 15tan 40°라고 정리한 뒤, tan 40°가 1보다 작으므로 x가 15m보다 작게 나오는 것도 그림과 어긋나지 않는지 살폈습니다.

힌트 없이 남긴 마지막 풀이 기록

마지막에는 문제의 표시와 풀이 중간을 모두 가린 채 다음 문제를 제시했습니다.

경사로의 끝점 A는 지면의 점 B보다 6m 높다. A에서 지면 위의 점 C를 바라본 각이 25°이고, AB는 수직, BC는 수평이다. BC의 길이를 y라 할 때 적절한 삼각비를 이용하여 y를 나타내어라.

학생은 먼저 A에 표시된 25°를 기준각으로 삼았습니다. AB는 기준각에 붙은 높이 6m, BC는 맞은편 거리 y라고 설명한 뒤,

tan 25° = y/6, 따라서 y = 6tan 25°

라고 적었습니다. 이어 이 식을 원래 직각삼각형에 대입해 ‘맞은편 변을 붙은 변으로 나눈 값이 tan 25°이므로 y/6이 그 비가 된다’고 검산했습니다. 기준각을 먼저 정하고 변의 역할을 확인한 뒤 삼각비를 선택하는 과정이 힌트 없이 재현된 장면입니다. 청라국제도시중3수학과외에서도 이처럼 답만 확인하지 않고, 식이 만들어지기 직전의 판단부터 점검합니다.