청라국제도시 중2수학과외

두 점에서 시작한 일차함수 풀이를 거꾸로 읽다

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점 (2, 5), (6, 13)을 지나는 일차함수의 식을 구하여라.

정답보다 먼저 확인한 마지막 줄

채점 결과를 본 학생은 자신의 풀이를 처음부터 다시 쓰지 않고, 맨 아래에서 위로 읽었다. 마지막에 적힌 식은 y=2x+1이었다. 학생은 두 점을 대입해 5와 13이 각각 나오는지 확인하려고 했다.

첫 번째 점을 넣자 2×2+1=5가 되어 맞았다. 두 번째 점도 2×6+1=13이 되어 계산 자체는 자연스러워 보였다. 그러나 문제지에 표시된 자신의 중간 줄에는 기울기를 구한 뒤 절편을 정하는 과정이 남아 있었다. 학생은 그 줄을 손가락으로 짚으며 “여기서 기울기와 절편을 서로 바꿔 적었을 수 있다”고 말했다.

뒤의 계산을 무조건 틀렸다고 판단하지 않고, 식이 두 점을 모두 지나는지 먼저 확인한 뒤 중간 과정을 역추적했다. 실제로 학생이 처음 적은 식은 y=1x+2였고, 이후 숫자를 옮겨 적는 과정에서 우연히 다른 식으로 수정되어 있었다.

처음 어긋난 판단을 한 줄에서 찾기

학생이 두 점을 세로로 적은 부분은 다음과 같았다.

기울기: (13-5)÷(6-2)=2
절편: 2

여기까지는 맞았다. 문제는 바로 다음 줄이었다.

y절편이 2이므로 y=2x+2

학생은 기울기 2와 y절편 2를 각각 구해 놓고도, 두 점 중 하나를 식에 대입해 절편을 확인하지 않았다. 따라서 이 풀이에서 가장 먼저 잘못 선택한 판단은 기울기와 y절편을 구한 뒤 좌표 대입 없이 절편을 확정한 것이었다. 계산 결과가 틀어진 뒤의 검산 부족이 아니라, 절편을 결정하는 순간에 식과 점의 대응을 끊은 것이 출발점이었다.

좌표를 식에 직접 대입해 그 줄만 고치기

이미 맞게 계산한 기울기 2는 그대로 두었다. 새로 여러 방법을 덧붙이지 않고, 한 점을 식에 넣어 절편만 다시 정했다.

y=2x+b에 점 (2, 5)를 대입하면
5=2×2+b
b=1

따라서 식은 y=2x+1이다. 학생은 이어서 다른 점 (6, 13)을 대입했다.

오른쪽: 2×6+1=13

두 점에서 모두 y값이 일치하므로 식을 확정했다. 이때 학생은 공책의 절편 부분에 동그라미를 치고, “기울기와 절편을 구한 뒤 바로 쓰지 말고 좌표 하나를 넣어 b를 정한다”고 자신의 말로 적었다. 이미 맞았던 두 점의 차를 이용한 기울기 계산은 유지하고, 처음 어긋난 절편 결정만 교정한 것이다.

식이 가려진 문제에서 오류 위치 다시 찾기

다음 문제는 풀이 중간의 식을 가리고, 두 점과 일부 기록만 보여 주었다.

점 (-1, 4), (3, -8)을 지나는 일차함수의 식을 구하여라.

학생은 먼저 두 점의 순서를 확인하고 x의 변화량과 y의 변화량을 따로 표시했다.

x의 변화량: 3-(-1)=4
y의 변화량: -8-4=-12

기울기는 -12÷4=-3이라고 적었다. 여기서 부호를 놓치지 않기 위해 y의 변화량 앞에 빨간 표시를 했다. 가려진 다음 줄을 추측할 때는 기울기만으로 식을 완성하지 않고, y=-3x+b에 점 (-1, 4)를 대입했다.

4=(-3)×(-1)+b이므로 b=1

학생은 가려진 부분에 적혀 있었을 가능성이 큰 오류를 두 가지로 나누지 않았다. “절편은 점을 넣어서 결정해야 하므로, 이 줄까지 확인하면 시작 위치를 찾을 수 있다”고 설명했다. 이어 두 번째 점을 넣어 -8=(-3)×3+1을 계산했고, 양변이 같음을 확인했다.

힌트 없이 축과 좌표로 최종 확인

수업 끝에는 표현을 바꾼 문제가 제시되었다.

일차함수의 그래프가 점 (4, -2), (-2, 10)을 지나고 y축과 만나는 점의 y좌표를 구한 뒤, 그 식을 쓰시오.

학생은 문제에서 바로 “y축과 만나는 값”을 찾으려 하지 않고, 먼저 두 점의 x좌표와 y좌표 변화를 표시했다.

기울기=(10-(-2))÷(-2-4)=12÷(-6)=-2

그다음 y=-2x+b에 점 (4, -2)를 대입해 -2=-8+b, b=6을 얻었다. y축에서는 x=0이므로 그래프가 만나는 점의 y좌표는 6이라고 설명했다. 식은 y=-2x+6으로 정리했다.

학생은 마지막으로 두 점을 각각 식에 넣었다. -2=-2×4+6, 10=-2×(-2)+6이 모두 성립했다. 또한 절편 6은 식에서 x=0일 때의 값이므로 y축과 만나는 값이라는 검산 근거도 스스로 말했다.