루원시티 중2수학과외

그래프의 점을 식으로 확인한 한 장면

문제에는 ‘두 점을 이용해 식을 구하시오’라는 유형명이 따로 적혀 있지 않았고, 한쪽에는 두 점이 표시된 그래프, 다른 쪽에는 간단한 표가 함께 제시되어 있었다. 가좌마을1.2단지와 가좌마을5.6단지 등이 있는 생활권에서 접할 수 있는 이동량을 나타낸 상황이었지만, 풀이의 중심은 생활 장면이 아니라 좌표와 식의 대응이었다.

두 점 A(1, 3), B(4, 9)를 지나는 일차함수의 식을 구하여라.

학생은 먼저 그래프에서 두 점에 동그라미를 치고, x좌표와 y좌표를 각각 세로로 적었다. 이어서 눈금 사이의 간격을 세어 오른쪽으로 3만큼 이동할 때 위로 6만큼 올라간다고 표시했다. 그러나 바로 식을 세우지 않고, 앞서 보았던 예제의 순서를 떠올리며 그래프 위에 있는 점이라는 사실만으로 좌표가 식에 이미 반영되었다고 판단했다. 그래서 y=2x+1이라고 적은 뒤, 별도의 대입 검산은 보류했다.

틀어진 지점은 계산보다 먼저 있었다

답이 틀어지기 시작한 최초의 판단은 기울기를 구한 뒤 절편을 결정할 때 점의 좌표를 식에 넣지 않은 것이었다. 학생은 두 점을 연결한 선의 모양에서 기울기 2를 읽어 낸 것은 맞았지만, y절편이 1이라고 그래프에서 단정했다. 그래프의 눈금과 선의 위치가 애매한데도 좌표를 대입하는 절차를 생략한 것이다.

교정은 한 가지 기준으로 좁혔다. 기울기를 구한 뒤, 반드시 주어진 점 하나를 y=ax+b에 대입해 b를 정한다. 이미 표시한 두 점과 변화량 계산은 그대로 유지했다. 학생은 a=2를 식에 먼저 쓰고 A(1, 3)을 대입했다.

3=2×1+b이므로 b=1이었다. 이번에는 우연히 같은 절편이 나왔지만, 교사는 결과가 같다는 데서 멈추지 않고 B(4, 9)도 넣게 했다. 9=2×4+1이 성립하자 학생은 ‘그래프에 점이 있으니 맞다’가 아니라 ‘좌표를 식에 넣어 양쪽이 같으므로 맞다’고 풀이 옆에 적었다. 두 점을 모두 확인하는 과정에서 그래프의 모양과 식의 정보가 서로 연결되었다.

표에서 출발한 변형 문제

같은 개념을 반복하지 않도록 이번에는 그래프를 보여 주지 않고 표와 문장으로 문제를 바꾸었다.

x가 0에서 2로 증가할 때 y는 5에서 1로 감소한다. 이 두 자료를 나타내는 일차함수의 식을 구하고, x=3일 때의 y값을 구하여라.

학생은 표의 두 대응을 (0, 5), (2, 1)로 직접 바꾸어 적었다. 이번에는 ‘감소’라는 말에 부호 표시를 하여 기울기를 양수로 쓰지 않도록 했다. 오른쪽 변화량은 2, y의 변화량은 -4이므로 기울기는 -2이다. 이어서 y=-2x+b에 첫 번째 점 (0, 5)를 대입하여 b=5를 얻고, 식을 y=-2x+5로 정리했다.

질문이 식을 구하는 데서 끝나지 않고 x=3일 때의 값을 묻자, 학생은 3을 x에 대입해 y=-1을 계산했다. 그리고 두 번째 표의 점 (2, 1)을 식에 넣어 -4+5=1인지 확인했다. 표를 좌표로 바꾸고, 변화량으로 기울기를 정한 뒤, 한 점으로 절편을 구하는 순서가 외형이 달라진 문제에서도 유지되었다.

힌트 없이 다시 세운 첫 판단

수업 후 제시한 새 문제는 그래프에 두 점만 표시되어 있고, 선의 식을 구한 다음 특정 점이 그 그래프 위에 있는지 판단하는 형식이었다. 학생은 설명을 기다리지 않고 먼저 두 점의 좌표를 읽어 적었다. 점이 (−2, 4), (2, −4)이므로 x가 4 증가할 때 y가 8 감소한다고 말하며 기울기를 -2로 정했다.

학생은 곧바로 y=-2x+b에 (−2, 4)를 넣었다. 4=4+b이므로 b=0, 따라서 식은 y=-2x라고 설명했다. 이어서 그래프에 표시된 점 (1, −2)를 식에 대입해 -2=-2×1이 성립하므로 그 점은 그래프 위에 있다고 검산했다. 이번에는 그래프의 위치를 보고 절편을 추측하지 않고, 좌표를 식에 넣어 절편과 성립 여부를 확인했다.

두 점을 읽고, 기울기를 구하고, 한 점을 대입해 식을 정한 뒤, 다른 점으로 성립을 확인하는 것이다.