루원시티 고2수학과외







검산 직전에 드러난 선택지 비교
학생은 다음 두 식이 같은 극한 구조인지 고르는 과정에서 멈췄다.
\[ \lim_{x\to 3}\frac{(x-3)^2+2(x-3)}{x-3} \qquad\text{와}\qquad \lim_{h\to 0}\frac{h^2+2h}{h} \]
첫 번째 식에 \(h=x-3\)을 대입하면 \(x\to3\)일 때 \(h\to0\)이므로 두 식은 같은 구조다.
복잡해 보이는 식을 이동시키기
\(x\ne3\)에서 분자를 묶으면 \[ \frac{(x-3)^2+2(x-3)}{x-3} =\frac{(x-3)\{(x-3)+2\}}{x-3} =x-1. \] 따라서 \[ \lim_{x\to3}(x-1)=2. \]
치환으로 확인해도 \[ \lim_{h\to0}\frac{h^2+2h}{h} =\lim_{h\to0}(h+2)=2 \] 이다. 기준점을 3에서 0으로 옮겼을 뿐, 극한값은 변하지 않는다.
새 문제에서 거꾸로 원인 찾기
이번에는 \[ \lim_{x\to5}\frac{(x-5)^2-4(x-5)}{x-5} \] 를 보자. \(h=x-5\)로 두면 \(h\to0\)이고 식은 \[ \lim_{h\to0}\frac{h^2-4h}{h} =\lim_{h\to0}(h-4)=-4 \] 가 된다.
정의역 조건과 계산 결과 확인
원래 분모가 \(x-5\)이므로 \(x=5\)에서는 식이 정의되지 않는다. 그러나 극한은 \(x=5\)에 충분히 가까운 \(x\ne5\)에서의 값으로 판단하므로 약분할 수 있다. 약분 뒤의 함수 \(x-9\)를 \(x\to5\)로 보내면 \(-4\)가 맞다.
따라서 ‘분모가 0이 되니 극한도 존재하지 않는다’는 판단은 오류다. 루원시티과외에서 이런 문제를 다룰 때도 먼저 대입값보다 \(x-a\)를 하나의 변수로 보는 습관을 점검한다.
같은 변환을 다른 기준점에 적용하기
\[ \lim_{x\to a}\frac{(x-a)^2+7(x-a)}{x-a} \] 에서 \(h=x-a\)라 두면 \(h\to0\)이다. 따라서 \[ \lim_{h\to0}\frac{h^2+7h}{h} =\lim_{h\to0}(h+7)=7. \]
기준점 \(a\)의 값 자체보다, 식이 \(x-a\)의 다항식으로 이루어졌는지가 핵심이다. 최종적으로는 치환 전 식과 치환 후 식의 기준점, 분모 조건, 극한값이 모두 일치하는지 확인하면 된다.