루원시티 중1수학과외
각의 꼭짓점과 변을 읽는 순서
루원시티 생활권의 가좌마을1.2단지와 루원시티가 이어지는 곳에서 중1 수학 문제를 살펴보던 학생은 각의 이름을 쓰는 문항에서 자꾸 다른 답을 적었다. 인천이음중학교가 포함된 생활권에서 자주 접하는 도형 문제라고 해서 그림의 모양만 보고 판단하면 안 됐다. 이번 루원시티과외 수업에서는 여러 개념을 넓히기보다 각의 꼭짓점과 변을 정확히 찾는 한 가지 풀이에 집중했다.
답이 틀어지기 시작한 한 줄
문제 그림에는 점 ㄴ을 가운데로 두고 ㄱ과 ㄷ으로 이어진 두 선분이 표시되어 있었다. 각의 이름을 쓰라는 질문에 학생은 그림의 왼쪽부터 읽어 ∠ㄱㄷㄴ이라고 적었다. 이어서 “각의 변은 ㄱㄷ과 ㄷㄴ”이라고 설명했다.
계산 실수가 아니라, 두 선분이 만나는 점을 확인하기 전에 점의 이름을 읽은 것이 최초의 어긋남이었다. 학생은 전에 풀었던 예제의 도형 방향과 점 이름 순서를 기억해 새 그림에도 그대로 적용했다. 그러나 각은 두 변이 만나는 점이 가운데에 와야 하므로, ㄱㄷㄴ은 ㄷ을 꼭짓점으로 삼는 다른 각을 가리키거나 이 그림의 각을 정확히 나타내지 못했다.
그림에서 실제로 만나는 점부터 표시하기
교정은 한 가지로 정했다. 각의 이름을 쓰기 전에 두 선분이 만나는 점에 동그라미를 치는 것이다. 학생은 그림에서 선분 ㄴㄱ과 ㄴㄷ이 만나는 점 ㄴ에 동그라미를 하고, 양쪽으로 뻗은 선분에 각각 표시했다. 그런 다음 이름을 가운데부터 정리해 ∠ㄱㄴㄷ이라고 다시 썼다.
“가운데 글자 ㄴ은 두 변이 만나는 꼭짓점이고, 바깥 글자 ㄱ과 ㄷ은 각의 두 변 위에 있는 점이다”라고 풀이 이유도 덧붙였다. 각의 변은 ㄴㄱ과 ㄴㄷ이며, 그림에 실제로 그어진 선분만 근거로 삼았다. 각의 방향이나 선분의 길이는 이름을 정하는 기준이 아니므로, 이미 맞게 표시한 두 변의 위치는 그대로 유지했다.
각의 이름을 쓰기 전, 두 선분이 만나는 점을 먼저 가운데에 놓는다.
같은 개념을 다른 모습으로 바꾸어 보기
다음 문항에서는 그림을 시계 방향으로 돌려 배치하고 점 이름도 ㄹ, ㅁ, ㅂ으로 바꾸었다. 이번에는 “표시된 각의 꼭짓점과 두 변을 문장으로 설명하라”는 질문이었다. 학생은 곧바로 이름을 쓰지 않고, 먼저 “선분 ㅁㄹ과 선분 ㅁㅂ이 점 ㅁ에서 만난다”고 적었다. 그 뒤 “꼭짓점은 ㅁ, 변은 ㅁㄹ과 ㅁㅂ”이라고 문장으로 옮겼다.
이번에는 그림 옆에 보기로 제시된 다른 선분 하나를 잠시 가리고, 실제 각에 표시된 두 선분만 골랐다. 그림이 기울어져 있어도 두 선분의 만나는 점은 ㅁ으로 같았고, 따라서 각의 이름은 ∠ㄹㅁㅂ 또는 순서를 바꾼 ∠ㅂㅁㄹ로 나타낼 수 있음을 확인했다. 질문이 이름 쓰기에서 설명하기로 바뀌었지만, 꼭짓점을 먼저 찾고 두 변을 확인하는 절차는 변하지 않았다.
다음 날, 표시 없이 다시 세운 풀이
다음 날 재도전에서는 보조 표시나 힌트를 주지 않았다. 그림에는 한 점에서 세 개의 선분이 뻗어 있었고, 그중 두 선분 사이의 각을 찾으라는 조건이 붙었다. 학생은 예전처럼 가장 바깥의 점부터 읽지 않고, 문제에서 표시한 두 선분을 손가락으로 차례로 짚었다. 선분 ㅅㅇ과 ㅅㅈ이 만나는 점이 ㅅ임을 확인한 뒤, 꼭짓점 ㅅ을 가운데에 놓아 ∠ㅇㅅㅈ을 적었다.
이어 그림의 표시와 정의를 대조했다. “가운데 글자는 두 변이 만나는 점이어야 한다. 양옆 글자는 각을 이루는 두 변의 끝점이어야 한다. 따라서 ㅅ이 가운데가 아닌 이름은 이 각을 나타낼 수 없다”고 스스로 설명했다. 보기의 다른 선분이 함께 있어도 표시된 두 변만 선택했으며, 도형의 방향이 바뀌거나 점 이름이 달라져도 판단 기준은 그대로였다.
- 표시된 두 선분을 먼저 찾는다.
- 두 선분이 만나는 점을 꼭짓점으로 확인한다.
- 꼭짓점을 가운데에 두고 양쪽 점을 배치한다.
- 적은 이름이 실제 두 변을 가리키는지 다시 대조한다.
마지막으로 학생은 “각의 이름은 그림을 읽는 방향이나 외운 예제의 순서로 정하는 것이 아니라, 꼭짓점과 실제 두 변의 관계로 정한다”고 말하며 풀이를 끝냈다. 루원시티중1수학과외에서도 이처럼 도형의 방향과 질문 형태가 달라져도 같은 판단을 스스로 재현하는지를 확인하는 데 초점을 맞췄다.