루원시티 고1수학과외







루원시티 고1수학과외, 치역을 찾을 때 중간식의 부호를 놓친 사례
학생은 함수 \(y=(x-1)^2-4\)의 그래프를 보고 치역을 구하는 문제에서 최솟값을 \(4\)로 적었다. 제곱항 뒤의 \(-4\)를 끝까지 반영하지 않고, 꼭짓점의 세로 위치를 반대로 읽은 것이 최초 오류였다.
꼭짓점의 위치부터 다시 읽은 순간
풀이를 모두 계산하게 하기보다 식을 \(y=(x-1)^2-4\)로 유지한 채, \(x-1=0\)일 때 제곱항이 가장 작아진다는 점을 확인하게 했다. 따라서 \(y\)의 최솟값은 \(-4\)이고, 그래프가 위로 열린다는 사실까지 연결하면 치역은 \(y\ge -4\)이다.
제곱항은 0보다 작아지지 않으므로, 뒤의 상수항이 그래프의 최솟값을 결정한다.
표현을 바꾼 문제에서 확인한 적용
이번에는 \(y=(x+2)^2-1\)을 식으로 주지 않고, 꼭짓점이 \((-2,-1)\)인 위로 열린 포물선이라고 제시했다. 학생은 꼭짓점의 \(y\)좌표를 경계값으로 삼아 치역을 \(y\ge -1\)로 정리했다. 식의 이동을 계산하는 대신 그래프의 위치에서 치역을 읽어 낸 점이 앞선 풀이와 달랐다.
처음 보는 그래프에서 최종 점검
마지막에는 아래로 열린 포물선의 꼭짓점이 \((3,5)\)인 그래프를 제시했다. 학생은 방향이 바뀌면 경계값의 포함 방향도 달라진다는 점을 적용해 치역을 \(y\le5\)로 판단했다. 수직선에 \(5\)를 표시하고 위아래 범위를 구분하면서 부호를 거꾸로 읽지 않는지 스스로 확인했다.