당하지구 중2수학과외

두 일차함수의 교점에서 다시 시작한 풀이

학생은 두 그래프가 만나는 점의 좌표를 구하는 문제를 풀고도, 그 점이 왜 중요한지 설명하지 못했다. 당하지구과외 수업에서 풀이 흔적을 거꾸로 살펴보니 계산 실수보다 먼저 생긴 판단의 문제가 보였다. 그래프의 모양만 보고 두 직선의 식을 정하려 했던 것이다.

문제에는 두 일차함수의 그래프가 제시되어 있었고, 교점의 좌표와 그 의미를 묻고 있었다. 학생은 눈금과 직선의 방향을 대략 확인한 뒤, 예제에서 보았던 순서대로 “오른쪽 위로 올라가니 양의 기울기, 아래로 내려가니 음의 기울기”라고 적었다. 이어 두 직선이 만나는 위치를 눈대중으로 읽어 식을 정하고, 그 좌표를 답으로 옮기려 했다.

“두 직선이 만나는 모양은 참고할 수 있지만, 그 점이 두 식에 동시에 맞는지는 따로 확인해야 해.”

그래프 모양보다 좌표와 식의 관계를 먼저 확인하기

교정은 한 가지 기준으로 좁혔다. 그래프 위의 점이라면 그 점의 좌표를 해당 함수의 식에 대입했을 때 등식이 성립한다는 기준이다. 학생은 그래프에서 읽은 교점 후보를 좌표로 적고, 첫 번째 함수의 x와 y 자리에 각각 대입했다. 계산 결과가 맞지 않자 그래프를 다시 그리는 대신 좌표를 잘못 읽었을 가능성을 표시했다.

눈금 사이 간격을 다시 세어 교점 후보를 고친 뒤 같은 좌표를 두 번째 식에도 넣었다. 두 식 모두에서 등식이 성립하자 학생은 교점의 의미를 다음처럼 적었다.

• 교점의 x좌표는 두 함수에서 같은 입력값이다.
• 교점의 y좌표는 그 입력값에 대응하는 같은 출력값이다.
• 따라서 교점 좌표는 두 일차함수의 식을 동시에 만족한다.

이미 맞게 읽어 낸 기울기의 부호와 직선의 방향은 그대로 유지했다. 다만 그것만으로 식이나 교점 좌표를 확정하지 않고, 좌표를 두 식에 직접 대입하는 확인을 풀이의 마지막 기준으로 남겼다.

문장을 그래프와 식으로 바꾸어 보는 독립 적용

다음 문제는 숫자와 질문의 방향을 바꾸었다. 한 대여 서비스의 이용 시간에 따른 두 요금이 각각 일차함수로 나타나고, “어느 시간부터 어느 요금이 더 큰가?”를 묻는 상황이었다. 이번에는 그래프가 먼저 주어지지 않고 두 식과 상황 설명이 함께 제시되었다.

학생은 두 식의 이름을 각각 적은 뒤, 같은 시간을 넣었을 때 요금이 같아지는 순간을 찾는 것이 질문의 핵심이라고 판단했다. 두 식을 같다고 놓아 구한 x값을 먼저 시간으로 해석하고, 그 값을 어느 한 식에 대입해 y값을 구했다. 이후 계산한 좌표를 두 식에 각각 대입해 같은 요금이 나오는지 확인했다.

그다음 좌표평면에 두 점씩 표시해 직선을 그렸다. 두 직선이 자신이 구한 좌표에서 만나는지 살피면서, 단순히 답의 숫자만 쓰지 않고 “이 시간에서는 두 요금이 같고, 교점의 높이는 그 공통 요금”이라고 설명했다. 질문이 교점 좌표를 구하는 형태에서 어느 함수가 더 큰지 비교하는 형태로 바뀌었지만, 두 함수가 같은 값을 갖는 좌표를 먼저 찾는 판단은 그대로 적용했다.

힌트 없이 다시 세운 첫 판단

한 주 뒤 당하지구중2수학과외 시간에 새 그래프 문제가 제시되었다. 이번에는 학생에게 풀이 순서를 말해 주지 않고, 두 직선이 만나는 점을 구한 뒤 그 점이 두 식과 어떤 관계인지 설명하게 했다. 학생은 문제를 읽자마자 교점 후보의 좌표를 눈금으로 확인하고, “그래프에서 읽은 값은 반드시 두 식에 대입해 검산하겠다”고 말했다.

학생은 좌표를 첫 번째 식에 넣어 y값이 맞는지 계산하고, 같은 좌표를 두 번째 식에도 대입했다. 두 결과가 모두 일치하자 좌표를 답으로 확정했다. 이어 교점의 x좌표와 y좌표가 각각 두 함수에서 공유되는 입력과 출력이라고 설명했다. 그래프가 조금 흐릿해 좌표를 다시 읽었을 때도, 두 식 중 하나만 확인하지 않고 두 식 모두에 대입한 근거를 제시했다.

이번 풀이에서 학생이 재현한 것은 그래프의 모양을 외워 답을 고르는 방식이 아니었다. 교점의 좌표는 두 일차함수의 식을 동시에 만족한다는 판단을 먼저 세우고, 그래프와 대입 결과를 서로 확인하는 과정이었다.