당하지구 고등수학과외
당하지구 고등수학과외에서는 산점도를 보고 상관관계만 빠르게 말하는 습관보다, 자료의 범위와 이상치가 해석에 어떤 변화를 주는지 확인하는 과정을 중점적으로 다룬다. 인천아라고등학교와 서인천고등학교 학생들이 자주 접하는 자료 해석 문제도 계산보다 표본을 어떻게 읽고 설명하느냐에 따라 풀이의 방향이 달라진다. 가좌마을1.2단지와 당음마을에서 수업한 한 학생은 산점도 속 한 점을 발견하자마자 “이 값은 튀었으니 제외해야 한다”고 적었다.
이상치를 판단하기 전에 표본을 다시 적는 이유
문제에는 관측값이 모두 31개라고 제시되어 있었지만, 학생은 산점도에 표시된 점의 위치만 훑은 뒤 전체 자료를 다시 정리하지 않았다. 어떤 점이 다른 점들과 멀리 떨어져 있다는 사실을 곧바로 오류 자료라는 뜻으로 받아들인 것이다. 그 결과 해당 점을 뺀 상태에서 양의 상관관계가 강하다고 결론 내렸고, 이상치를 포함했을 때 상관관계가 약해지는지 또는 방향이 달라지는지 비교하지 않았다.
풀이를 멈추게 한 첫 오류는 계산 실수가 아니었다. ‘현재 해석하는 표본이 31개 전체인지, 특정 점을 제외한 30개인지’를 적지 않은 채 다음 단계로 넘어간 것이었다. 표본공간이 달라졌는데도 같은 자료를 분석한다고 생각했기 때문에 이상치의 영향도 정확히 설명할 수 없었다.
학생의 풀이를 되돌리는 장면
학생에게 산점도를 새로 그리게 하기보다 먼저 자료를 두 줄로 나누어 적게 했다. 첫 줄에는 31개 관측값을 모두 포함한 경우를, 둘째 줄에는 의심한 점을 제외한 경우를 표시했다. 이어 각 경우의 평균과 산포가 어떻게 달라지는지 계산하고, 회귀선의 기울기가 어느 방향으로 움직이는지 비교했다. 점 하나가 오른쪽 위에 놓였다고 해서 반드시 제거되는 것은 아니다. 실제 관측에서 나타날 수 있는 값이라면 이상치이면서도 중요한 정보일 수 있기 때문이다.
학생은 처음에 멀리 떨어진 점을 삭제한 뒤 남은 자료만 보고 “자료가 거의 직선에 가깝다”고 말했다. 교정 과정에서는 삭제 전 산점도와 삭제 후 산점도를 나란히 놓고, ‘상관관계가 강해졌다’는 문장이 ‘원래 자료의 관계가 강하다’는 뜻으로 바뀔 수 없음을 확인했다. 이상치를 제외하려면 측정 오류, 기록 오류, 조사 대상의 차이처럼 별도의 근거가 있어야 한다는 점도 풀이 옆에 적었다.
산점도에서 멀리 있는 점은 삭제할 답이 아니라, 포함했을 때와 제외했을 때 해석이 어떻게 달라지는지 먼저 비교할 대상이다.
조건을 바꾼 자료에서 혼자 설명하기
다음 연습에서는 표본의 크기를 31개에서 18개로 바꾸고, 오른쪽 위에 있던 점을 왼쪽 아래로 옮겼다. 학생은 이번에는 자료의 개수와 점의 위치를 먼저 문장으로 정리한 뒤, 전체 자료를 포함한 해석을 작성했다. 그 다음 해당 점을 제외했을 때 상관관계의 방향과 회귀선의 기울기가 어떻게 달라질지 스스로 설명했다. 단순히 “이상치 때문에 약해진다”라고 쓰지 않고, 그 점이 평균에서 먼 위치에 있으며 두 변수의 변화 방향에 어떤 영향을 주는지 근거를 붙이도록 했다.
문항 형식도 바꾸어, 이상치를 찾는 문제가 아니라 “어떤 자료를 추가하면 기존 상관관계가 약해지는가”를 묻는 형태로 제시했다. 학생은 점을 무작정 고르는 대신 현재 산점도의 중심과 회귀선 위치를 살핀 뒤 후보를 제시했다. 이후 후보가 실제로 조건을 만족하는지 표본에 포함해 다시 판단했다.
정상값을 잘못 제외했을 때의 반례 검증
마지막에는 실제로는 정상적인 측정값인 점을 이상치로 잘못 분류한 경우를 만들었다. 학생은 그 점을 제외한 산점도에서는 관계가 뚜렷해 보이지만, 원자료 전체에서는 관계가 약해진다는 사실을 확인했다. 이어 제외했던 점을 원래 표본에 재대입하고, 두 자료 집합의 해석을 역순으로 비교했다. “제외했더니 설명이 쉬워졌다”는 이유만으로 자료를 버리면 결론이 연구 대상이 아니라 편집한 표본에 대한 결론이 된다는 점이 드러났다.
마지막 답안에는 표본의 크기, 이상치로 의심한 근거, 포함·제외에 따른 변화, 자료를 제외해도 되는 조건을 모두 구분해 적었다. 그래프만 보고 판단하지 않고 원자료와 수정 자료를 번갈아 대입한 덕분에, 산점도 해석이 점의 모양을 읽는 활동에서 끝나지 않고 표본의 타당성을 검토하는 풀이로 이어졌다.
자주 묻는 질문
산점도에서 멀리 떨어진 점은 무조건 이상치인가요?
아니다. 다른 점과 거리가 있어도 실제 현상을 나타낼 수 있다. 측정이나 기록의 오류가 확인될 때만 제외를 검토한다.
이상치를 포함하면 상관관계가 항상 약해지나요?
그렇지 않다. 점의 위치에 따라 상관관계를 약화하거나 강화할 수도 있고, 방향 자체를 바꿀 수도 있다.
표본의 개수를 답안에 적어야 하나요?
자료를 일부 제외하거나 추가했다면 포함된 관측값의 수를 밝혀야 해석 대상이 분명해진다.
상관계수만 계산하면 충분한가요?
상관계수의 변화만 제시하지 말고, 그 변화가 특정 점의 위치와 표본 구성에서 비롯되었는지 산점도와 함께 확인해야 한다.