당하지구 중1수학과외
그림을 가린 뒤에도 남는 점과 직선 사이의 거리
당하지구와 가좌마을1.2단지가 이어지는 생활권에서 중1수학과외를 진행하며, 인천아라중학교가 포함된 생활권의 한 학생이 도형 문제를 풀었다. 문제에는 직선 l 위에 두 점 A, B가 있고, 직선 밖의 점 P에서 직선 l로 내린 수선의 발이 H로 표시되어 있었다. PH의 길이는 4cm, AB의 길이는 7cm였다. 질문은 “점 P와 직선 l 사이의 거리를 구하라”였다.
학생은 칠판의 풀이 예시를 잠시 가린 뒤 그림을 보고 “A에서 P까지의 선분이 가장 짧아 보이므로 답은 5cm”라고 적었다. 이어 삼각형처럼 보이는 부분의 변을 따라 길이를 찾으려 했지만, 문제에 표시된 5cm는 P와 A를 잇는 선분의 길이가 아니라 다른 도형에서 사용된 값이었다.
오답에서 거꾸로 확인한 첫 판단
결과만 지우지 않고 학생이 처음 적은 문장을 다시 살폈다. 잘못된 지점은 계산이 아니라 점과 직선 사이의 거리를 임의의 연결선 길이로 판단한 것이었다. 점 P에서 직선 l에 이르는 거리는 여러 선분 중 짧아 보이는 것을 고르는 값이 아니다. 점에서 직선에 수직으로 내린 선분의 길이로 정해진다.
그래서 학생이 그린 선분 PA 옆에는 작은 표시를 지우고, P에서 l로 곧게 내려가는 PH에 직각 표시를 다시 하게 했다. 그다음 문제에 실제로 표시된 값만 따로 적었다.
- 점: P
- 직선: l
- 직선 l에 수직인 선분: PH
- PH의 길이: 4cm
학생은 “P에서 l까지의 거리는 직각을 이루는 PH의 길이이므로 4cm”라고 문장으로 바꾸어 썼다. AB의 길이 7cm는 직선 위의 일부 구간을 나타낼 뿐, 점 P와 직선 l 사이의 거리를 정하는 값이 아니라는 점도 표시했다.
도형의 모양을 바꾸어 다시 읽기
다음 문제에서는 그림을 90도 돌려 놓고 점 이름도 Q와 R로 바꾸었다. 세로로 놓인 직선 m의 오른쪽에 점 Q가 있고, Q에서 m으로 수평선을 그어 만나는 점이 R이었다. 이번에는 칠판 풀이를 가리고, “Q와 직선 m 사이의 거리를 나타내는 선분을 쓰고 그 길이를 설명하라”는 질문으로 제시했다.
학생은 먼저 그림의 방향에 끌리지 않고 Q에서 m까지 이어진 선분 QR에 직각 표시가 있는지 확인했다. 직선 m과 QR이 만나는 각이 직각임을 찾아낸 뒤, 주어진 표시에서 QR의 길이가 6cm임을 읽었다. 답을 단순히 “6cm”라고 쓰지 않고, “QR은 Q에서 직선 m에 수직으로 그은 선분이므로 점 Q와 직선 m 사이의 거리는 QR의 길이인 6cm이다”라고 적었다.
점에서 직선까지의 거리는 점과 직선을 잇는 아무 선분이 아니라, 직선에 수직인 선분의 길이이다.
이 과정에서 그림에 보이지 않는 길이를 추측하지 않도록, 실제로 표시된 직각과 길이만 근거로 삼았다. 수직선분이 여러 개처럼 보이는 경우에는 직선과 만나는 지점의 각이 직각인지 먼저 대조하고, 직선 위에 놓인 선분은 거리 후보에서 제외했다. 당하지구과외 수업에서도 같은 방식으로 그림의 방향보다 표시와 정의를 먼저 읽게 했다.
힌트 없이 다시 세운 풀이
학교 자습 시간에는 새로운 도형을 제시했다. 직선 n 위에 C와 D가 있고, 직선 밖의 점 S에서 n으로 내린 수선의 발이 T였다. 그림에는 ST에만 직각 표시가 있고, DT의 길이 9cm가 적혀 있었다. 점 S와 직선 n 사이의 거리를 묻는 문제였지만, ST의 숫자는 직접 적혀 있지 않았다.
학생은 이번에는 바로 답을 쓰지 않고 “거리를 정하려면 S에서 n에 수직인 선분을 찾아야 한다”고 먼저 적었다. ST가 그 선분임을 확인한 뒤, 그림에 주어진 DT의 9cm만으로 ST의 길이를 알 수 있는지 따져 보았다. 다른 길이 관계나 추가 조건이 없으므로 9cm를 ST에 옮겨 적을 수 없다는 판단도 함께 기록했다.
따라서 학생은 “점 S와 직선 n 사이의 거리는 ST이지만, 문제에 ST의 길이가 주어지지 않았으므로 수치로 확정할 수 없다”고 결론 내렸다. 마지막으로 직선 위의 DT를 거리로 잘못 읽지 않았는지, 직각 표시가 ST에 있는지, 주어진 9cm가 어느 선분에 붙어 있는지를 다시 확인했다. 인천아라중학교 생활권에서 이어진 A+중1수학과외에서도 목표는 답을 억지로 만드는 것이 아니라, 그림의 표시와 점·직선 사이 거리의 정의를 근거로 끝까지 재현하는 데 두었다.