검암지구 고2수학과외
그래프의 양끝에서 먼저 확인하는 수평점근선
검암지구과외 수업에서는 그래프의 한 점이 아니라 \(x\to\pm\infty\)에서 함수값이 가까워지는 높이를 먼저 확인한다.
| 함수 | \(x\to+\infty\) | \(x\to-\infty\) | 수평점근선 |
|---|---|---|---|
| \(\displaystyle f(x)=\frac{3x^2-1}{x^2+2}\) | 3 | 3 | \(y=3\) |
| \(\displaystyle g(x)=\frac{x^3+1}{x^2+1}\) | +\(\infty\) | -\(\infty\) | 수평점근선 없음 |
최고차항이 결정하는 무한대의 형태
\(f(x)\)에서는 분자와 분모의 차수가 모두 2이므로 최고차항의 계수비를 계산한다.
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x^2-1}{x^2+2} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3-\frac1{x^2}}{1+\frac2{x^2}}=3 \]
따라서 양쪽 끝에서 그래프가 \(y=3\)에 가까워지고, 수평점근선은 \(y=3\)이다.
한 번 지난 높이를 점근선으로 착각한 오류
학생은 \(f(1)=\frac23\), \(f(2)=\frac{11}{6}\)을 계산한 뒤 그래프가 특정 높이를 지나므로 그 높이가 수평점근선이라고 기록했다. 그러나 점근선은 특정한 한 점의 높이가 아니라, \(x\)가 무한히 커질 때 함수값이 가까워지는 직선이다.
오류 기록의 교정
점 \( (1,\frac23) \)이나 \( (2,\frac{11}{6}) \)은 그래프 위의 점일 뿐이다. \(x\)가 계속 커질 때의 값을 판단하려면 최고차항으로 나누어 극한을 구해야 한다.
\[ \frac{3x^2-1}{x^2+2} =\frac{3-\frac1{x^2}}{1+\frac2{x^2}} \longrightarrow 3 \]
최종 검증: 역문제로 보기 판별하기
다음 보기 중 옳은 것
- \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-1}{x^2+2}=3\)이고 수평점근선은 \(y=3\)이다.
- 그래프가 \(y=2\)를 한 번 지나므로 수평점근선은 \(y=2\)이다.
- \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^3+1}{x^2+1}=1\)이다.
정답은 1번이다. 2번은 한 점에서의 통과와 무한대에서의 접근을 혼동한 것이며, 3번은 차수가 분자에서 더 높아 실제로 \(g(x)\sim x\)이므로 \(x\to\infty\)에서 \(+\infty\)로 간다.
좌우 극한이 모두 같은 \(L\)이면 수평점근선은 \(y=L\)이다. 좌우 극한이 서로 다르면 각각 다른 끝의 거동을 따로 판단해야 하며, 하나의 수평점근선으로 묶을 수 없다.