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죽동 고2수학과외

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넓이식에 들어갈 값부터 확인하기

죽동과외에서 삼각형 문제를 다룰 때는 사인법칙을 무조건 여러 번 적용하기보다, 최종 넓이식에 필요한 값이 무엇인지 먼저 확인해야 한다.

학생 풀이 기록에서 생긴 오류

삼각형 \(ABC\)에서 \(b=8\), \(\angle A=30^\circ\), \(\angle B=45^\circ\)일 때 넓이를 구하자.

한 학생은 먼저 \(\angle C=105^\circ\)를 구한 뒤, \(a\)와 \(c\)를 모두 사인법칙으로 계산하려 했다. 하지만 넓이식은

\[ S=\frac12 ab\sin C \]

이므로 이미 알고 있는 \(b\), 구해야 할 \(a\), 알고 있는 \(\sin C\)만 있으면 충분하다. \(c\)는 계산할 필요가 없다.

가장 짧은 계산 경로

사인법칙으로 \(a\)만 구한다.

\[ \frac{a}{\sin30^\circ}=\frac{8}{\sin45^\circ} \]

\[ a=8\cdot\frac{\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}}=4\sqrt2 \]

또한

\[ C=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ \]

이므로

\[ \sin105^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} \]

따라서

\[ S=\frac12\cdot4\sqrt2\cdot8\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} =4\sqrt3+4 \]

외접원 반지름이 주어진 경우

이번에는 외접원 반지름 \(R=5\), 세 각이 \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\)인 삼각형의 넓이를 구해 보자.

변을 모두 구하지 않고 넓이로 연결하기

사인법칙 \(a=2R\sin A\), \(b=2R\sin B\)를 넓이식에 대입하면

\[ S=\frac12ab\sin C =2R^2\sin A\sin B\sin C \]

이다. 따라서

\[ S=2\cdot5^2\cdot\sin30^\circ\cdot\sin60^\circ\cdot\sin90^\circ =\frac{25\sqrt3}{2} \]

재풀이 점검

  • 넓이식에 필요한 변만 사인법칙으로 구한다.
  • 각의 합으로 나머지 각을 구할 때 삼각형 조건을 확인한다.
  • 외접원 반지름이 주어지면 \(a=2R\sin A\)를 바로 활용한다.

이처럼 대구고3수학과외를 찾는 학생도 계산량보다 넓이식의 구조를 먼저 분석하면 불필요한 중간값 계산을 줄일 수 있다.

죽동 고2수학과외 학부모 후기

주말 아침 간식을 가져다주러 방에 들렀다가 아이가 문제집을 바로 덮지 않고 있는 걸 보게 됐어요. 풀이를 끝낸 뒤 마지막 계산 결과를 처음과는 다른 방식으로 다시 확인하더라고요. 답을 먼저 찾아보는 모습이 아니라, 본인이 적어 둔 계산을 한 번 더 살펴보는 장면이었어요. 예전에는 왜 그렇게 계산했는지 따로 남겨두지 않아서, 틀려도 어디서 나온 답인지 찾기 어려웠거든요. 그런데 이번에는 처음 계산과 다른 방법으로 결과를 확인한 뒤, 그 과정을 잠깐 들여다보고 있었습니다. 죽동 수학과외 이야기를 나누며 보게 된 변화 중에서도 이 장면이 특히 눈에 띄었어요. 새 단어 목록을 받았을 때에도 마지막 결과를 같은 식으로 한 번 더 확인했고, 다음에 다시 볼 부분을 하나 정해 두었어요. 계산한 답만 넘기지 않고 확인할 지점을 따로 남겨 둔 모습이 보였습니다.

★★★★☆학부모 후기

오답이 잔뜩 나온 단원을 다시 펼쳐 보던 날이었어요. 아이가 틀린 문제만 붙잡고 있을 줄 알았는데, 공부를 마치고 나서 맞혔던 문제 하나를 또 풀고 있더라고요. 답을 확인하려는 게 아니라 풀이가 더 짧아질 수 있는지, 다른 방법은 없는지 나란히 살펴보는 모습이었어요. 예전에는 막히거나 어려운 부분이 나와도 따로 표시하지 않고 그냥 다음 문제로 넘어갔거든요. 그런데 죽동 수학과외 수업 전 질문할 내용을 확인할 때 보니, 맞힌 문제 중에서도 풀이를 비교해 본 곳을 다시 찾아보고 있었습니다. 한 가지 방법으로 끝내지 않고 다른 풀이까지 대조한 흔적이 그대로 남아 있더라고요.

★★★★★학부모 후기

죽동에서 수학과외를 시작하기 전에는 집중이 금방 흐트러져 숙제도 늘 마지막에 몰아서 하곤 했습니다. 수업을 마친 뒤에는 한 문제를 거의 다 풀고도 선생님께 먼저 궁금한 점을 물어봤고, 틀린 이유도 차분히 함께 찾아 주셔서 공부가 예전보다 편해졌다고 느꼈습니다.

★★★★★학부모 후기

죽동에서 과외를 시작한 첫날에는 낯을 가려 문제를 풀기보다 답지를 먼저 보고 싶었습니다. 선생님은 바로 답을 알려주지 않고 어디까지 이해했는지 편하게 물어보며 스스로 생각할 시간을 주셨습니다. 수업을 마친 뒤에는 모르는 문제도 그대로 지나치지 않고 한 번 더 질문해 보게 됐습니다.

★★★★★학부모 후기

평일 귀가 후 바로 책상에 앉기 힘들어하던 아이가 죽동 수업을 다녀온 뒤에는 먼저 질문할 문제를 골라두기 시작했습니다. 선생님은 시험기간에도 숙제를 무리하게 늘리지 않고 해낼 수 있는 양으로 나눠 주셨고, 막히면 설명을 들은 뒤 다시 시도하는 모습이 조금씩 늘었습니다.

★★★★★학부모 후기