죽동 고2수학과외







넓이식에 들어갈 값부터 확인하기
죽동과외에서 삼각형 문제를 다룰 때는 사인법칙을 무조건 여러 번 적용하기보다, 최종 넓이식에 필요한 값이 무엇인지 먼저 확인해야 한다.
학생 풀이 기록에서 생긴 오류
삼각형 \(ABC\)에서 \(b=8\), \(\angle A=30^\circ\), \(\angle B=45^\circ\)일 때 넓이를 구하자.
한 학생은 먼저 \(\angle C=105^\circ\)를 구한 뒤, \(a\)와 \(c\)를 모두 사인법칙으로 계산하려 했다. 하지만 넓이식은
\[ S=\frac12 ab\sin C \]
이므로 이미 알고 있는 \(b\), 구해야 할 \(a\), 알고 있는 \(\sin C\)만 있으면 충분하다. \(c\)는 계산할 필요가 없다.
가장 짧은 계산 경로
사인법칙으로 \(a\)만 구한다.
\[ \frac{a}{\sin30^\circ}=\frac{8}{\sin45^\circ} \]
\[ a=8\cdot\frac{\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}}=4\sqrt2 \]
또한
\[ C=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ \]
이므로
\[ \sin105^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} \]
따라서
\[ S=\frac12\cdot4\sqrt2\cdot8\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} =4\sqrt3+4 \]
외접원 반지름이 주어진 경우
이번에는 외접원 반지름 \(R=5\), 세 각이 \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\)인 삼각형의 넓이를 구해 보자.
변을 모두 구하지 않고 넓이로 연결하기
사인법칙 \(a=2R\sin A\), \(b=2R\sin B\)를 넓이식에 대입하면
\[ S=\frac12ab\sin C =2R^2\sin A\sin B\sin C \]
이다. 따라서
\[ S=2\cdot5^2\cdot\sin30^\circ\cdot\sin60^\circ\cdot\sin90^\circ =\frac{25\sqrt3}{2} \]
재풀이 점검
- 넓이식에 필요한 변만 사인법칙으로 구한다.
- 각의 합으로 나머지 각을 구할 때 삼각형 조건을 확인한다.
- 외접원 반지름이 주어지면 \(a=2R\sin A\)를 바로 활용한다.
이처럼 대구고3수학과외를 찾는 학생도 계산량보다 넓이식의 구조를 먼저 분석하면 불필요한 중간값 계산을 줄일 수 있다.