죽동 중2수학과외

경계값을 먼저 읽는 일차부등식 풀이

죽동 대원칸타빌이 있는 생활권과 관평도서관 인근 생활권에서 중2 수학 과외를 진행할 때, 일차부등식을 계산하는 과정은 비교적 빠른데도 수직선에 해를 나타내는 순간 멈추는 학생을 만났다.

계산보다 먼저 바뀐 판단

학생은 시험범위 프린트의 문제를 읽고 부등식 옆에 작은 메모를 남겼다.

“수직선에 나타내기, 경계값은 포함되지 않음.”

문제에는 3x-5≤7을 풀어 해를 수직선에 나타내라고 되어 있었다. 학생은 식에서 숫자와 부호를 표시한 뒤, 아직 계산하지 않은 상태에서 4를 기준으로 열린 동그라미를 그렸다. 그다음 양변에 5를 더해 3x≤12를 만들고, 3으로 나누어 x≤4라고 적었다. 계산 줄만 보면 자연스러웠지만, 이미 수직선의 기준을 잘못 정한 뒤 풀이를 이어 간 것이 문제였다.

학생은 마지막에 4의 왼쪽을 색칠하고도 “부등호가 작거나 같으니 4까지 포함하는 게 맞는 것 같다”고 말했다. 결과가 틀어진 시점은 색칠할 때가 아니었다. 계산 전에 경계값의 포함 여부를 반대로 표시한 판단이 가장 먼저 어긋난 부분이었다.

원래 부등식으로 경계값 확인하기

이미 맞게 진행한 식의 계산은 지우지 않았다. 교정은 한 가지로 좁혔다. 경계값으로 예상한 수를 원래 부등식에 직접 넣어 보는 것이다. 학생은 4를 대입해 다음처럼 확인했다.

3×4-5=7, 따라서 7≤7은 참이다.

학생은 이 한 줄에서 4가 해에 포함되어야 한다는 사실을 확인했다. 그래서 열린 동그라미를 지우고 4에 닫힌 동그라미를 그렸다. 부등호가 ≤이면 경계값을 포함하고, ≥도 같은 방식으로 포함한다는 설명을 길게 덧붙이기보다, 해당 문제의 경계값을 원래 식에 넣어 판단하도록 했다. 이후 수직선의 왼쪽 방향은 그대로 두고, 끝점 표시만 바꾸었다.

• 3x-5≤7
• 3x≤12
• x≤4
• 4를 원래 식에 대입하면 참이므로 닫힌 동그라미

학생은 “계산 결과를 보고 표시하는 것이 아니라, 경계값이 조건을 만족하는지 확인하면 표시를 결정할 수 있다”고 자신의 말로 정리했다. 이미 올바르게 계산한 부분은 유지하고, 처음의 표시 판단만 바로잡은 것이다.

문장을 식으로 바꿔 기준을 새로 세우다

다음 문제는 숫자만 바꾼 형태가 아니었다. “어떤 수의 2배에서 1을 뺀 값이 5보다 크지 않다. 그 수의 범위를 수직선에 나타내라”는 문장이 제시되었다. 학생은 먼저 ‘크지 않다’에 밑줄을 긋고, 이를 2x-1≤5로 바꾸었다. 문장을 식으로 옮긴 뒤에야 경계값 포함 여부를 정했다.

학생은 3을 경계값으로 예상하고 바로 동그라미를 그리지 않았다. 2x-1≤5에 3을 대입해 6-1=5, 즉 5≤5가 참임을 확인했다. 이어 2x≤6, x≤3으로 정리하고 3에 닫힌 동그라미를 표시했다. 이번에는 문제의 문장, 식, 수직선의 표시가 같은 방향으로 연결되었다.

도움 없이 재현한 최종 확인

수업 끝에 새 문제를 제시했다. 학생은 -2x+3>7을 풀고 수직선에 나타내야 했다. 누구의 표시도 받지 않은 학생은 먼저 “경계값은 등호가 없으므로 포함하지 않는다”고 적었다. 양변에서 3을 빼 -2x>4를 만든 뒤, 음수인 -2로 나눌 때 부등호 방향이 바뀐다고 스스로 표시했다. 따라서 x<-2라고 결론 내리고 -2에 열린 동그라미를 그린 다음 왼쪽을 색칠했다.

학생은 검산으로 경계값 -2를 원래 식에 넣었다.

-2×(-2)+3=7, 하지만 7>7은 참이 아니므로 -2는 해에 포함되지 않는다.

이번에는 경계값의 포함 여부를 먼저 판단하고, 음수로 나눈 뒤 부등호 방향을 다시 확인했으며, 원래 부등식으로 끝점까지 검산했다. 계산 전 기준을 스스로 세우고 표시의 이유를 설명한 장면에서 교정이 실제 풀이로 재현되었다. 이런 식의 죽동중2수학과외에서는 정답보다 경계값을 어떻게 판단했는지와 수직선 표시를 어떤 근거로 선택했는지를 함께 확인한다.