궁동 중2수학과외

궁동 중2수학과외에서 확인한 분수가 있는 일차부등식의 기준

궁동과외 수업에서 학생은 분수가 포함된 일차부등식을 서술형 문제로 만났다. 궁동중2수학과외를 진행하며 학생이 실제로 어떤 순간에 판단을 바꾸는지 한 줄씩 확인했다.

계산보다 먼저 남긴 표시

학생은 문제의 문장을 읽고 ‘해를 수직선에 나타내라’는 부분에 밑줄을 그었다. 이어서 부등식의 경계가 되는 값을 네모로 표시하고, 경계점이 포함되는지 제외되는지는 아직 결정하지 않은 채 옆에 물음표를 남겼다.

“먼저 분모를 없애고 계산한 뒤에 수직선을 그리면 되겠어요.”

학생이 적은 식은 다음과 같았다.

(x-1)/3 - 2/3 > 1

학생은 왼쪽의 두 분수를 보고 분모 3을 없애려 했지만, 첫 번째 항에만 3을 곱해 x-1-2/3 > 1이라고 적었다. 그다음 양변에 1을 더하고 경계값을 구하려 했다. 계산 도중 “분모가 아직 남아 있는데 괜찮은가요?”라고 물으며 연필을 멈췄다.

결과가 아니라 첫 선택을 되짚다

이때 바로 드러난 문제는 계산 부호가 아니었다. 학생은 분모를 없애는 과정에서 식 전체가 아니라 일부 항만 선택해 3을 곱해도 된다고 판단한 것이다. 아직 수직선의 점을 잘못 찍은 단계까지 가지 않았지만, 이 선택을 그대로 두면 이후의 모든 항이 서로 다른 기준으로 계산된다.

교사는 이미 학생이 표시한 경계값과 수직선의 빈 점·찬 점 구분은 그대로 두고, 분모를 없애는 한 가지 행동만 다시 확인하게 했다.

“3을 곱하는 대상은 첫 항일까, 부등식의 양변 전체일까?”

학생은 식 전체를 괄호로 묶어 3×[(x-1)/3 - 2/3] > 3×1이라고 다시 썼다. 왼쪽과 오른쪽의 모든 항에 같은 양수 3을 곱했으므로 부등호 방향은 바뀌지 않는다고 말한 뒤,

x-1-2 > 3

으로 정리했다. 따라서 x > 6을 얻었고, 수직선에는 6에 열린 점을 찍은 다음 오른쪽으로 선을 그었다. 6은 포함하지 않으므로 열린 점이라는 설명도 덧붙였다.

식이 아닌 수직선에서 다시 읽기

같은 개념을 숫자만 바꾼 문제로 반복하지 않고 표현을 바꾸었다. 이번에는 수직선에 4에서 열린 점이 표시되어 있고 오른쪽으로 화살표가 향해 있었다. 학생에게 이 그림을 부등식과 분수가 있는 식으로 설명하게 했다.

학생은 먼저 그림을 보고 x>4라고 읽었다. 이어서 “분모를 없애기 전에도 부등호 방향은 그대로여야 하므로 양수인 수를 곱하는 형태가 안전하다”고 말하며 다음 식을 만들었다.

(x+2)/5 - 2/5 > 4/5

학생은 양변 전체에 5를 곱해 x+2-2>4, 즉 x>4를 얻었다. 그림의 열린 점과 식의 ‘>’가 서로 맞는지 대조하고, 경계값 4를 원래 식에 넣었다.

왼쪽은 (4+2)/5-2/5=4/5가 되어 ‘4/5보다 크다’가 성립하지 않는다. 이어 5를 대입해 왼쪽을 7/5로 계산하고 오른쪽 4/5보다 크다는 것도 확인했다. 경계값은 제외되고 범위 안의 값은 포함된다는 근거를 식으로 남긴 것이다.

힌트 없이 재현한 마지막 풀이

수업 후반에는 교사가 설명이나 질문을 덧붙이지 않고 새 서술형 문제를 제시했다.

(2x-3)/4 + 1/4 ≤ 5/4를 풀고 해를 수직선에 나타내라는 문제였다.

학생은 문제를 읽자마자 식 전체에 4를 곱하는 표시를 괄호 양쪽에 직접 했다. “분모가 있는 항 하나만 처리하지 않고 부등식의 모든 항에 같은 양수 4를 곱한다”고 풀이 이유를 먼저 설명했다. 이어 2x-3+1≤5, 2x≤7, x≤7/2로 정리했다.

7/2에는 닫힌 점을 찍고 왼쪽으로 범위를 표시했다. 경계값을 원식에 대입하면 양변이 모두 5/4가 되어 포함되고, 범위 안의 값 3을 대입하면 왼쪽이 7/4로 오른쪽 5/4보다 커져 조건을 만족하지 않는다고 검산했다. 학생은 분모를 없애는 첫 판단, 부등호의 방향, 수직선의 점과 범위를 스스로 연결해 설명했다.