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궁동 고2수학과외

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3사분면에서 시작된 부호 판단의 오류

학생의 풀이 기록에는 “3사분면에서는 x와 y가 모두 음수이므로 탄젠트도 음수”라고 적혀 있었다. 그러나 탄젠트는 좌표의 부호를 따로 보는 것이 아니라 비의 부호를 판단해야 한다.

좌표로 다시 확인하기

각을 나타내는 점의 좌표를 (x,y)라고 하면, 3사분면에서는

x<0, y<0

이다. 탄젠트는

tanθ=yx

로 나타나므로, 음수를 음수로 나누면 양수가 된다.

sin과 cos에서 tan의 부호를 판정하는 법

3사분면에서는 sinθcosθ가 모두 음수이다. 따라서

tanθ=sinθcosθ

에서 음수와 음수의 비가 되어 탄젠트는 양수이다.

사분면별 부호표

사분면sincostan
1사분면+++
2사분면+
3사분면+
4사분면+

새 문제에 적용하기

sin의 부호가 음수이고 cos의 부호도 음수라면 두 값이 동시에 음수인 3사분면을 선택한다. 이때 탄젠트는 반드시 양수이다. 반대로 sin은 음수이고 tan은 양수라는 조건만 주어져도 sin과 cos의 비가 양수가 되어 cos 역시 음수이므로 3사분면임을 알 수 있다.

이처럼 대전과학고등학교나 유성고등학교 관련 학습에서 사분면 문제를 만났을 때도 좌표 자체가 아니라 y/x의 부호를 확인하면 같은 오류를 피할 수 있다. 궁동과외에서는 부호표를 외우는 데서 그치지 않고 각 부호가 만들어지는 비의 구조까지 점검하는 방식으로 풀이를 교정한다.

최종 검증

3사분면은 x<0, y<0이므로

tanθ=yx>0

이다. 따라서 “3사분면에서 탄젠트가 양수인 이유”에 대한 올바른 답은 x와 y가 모두 음수이므로 음수와 음수의 비가 양수가 되기 때문이다.

궁동 고2수학과외 학부모 후기

다른 유형의 독해 문제를 풀 때 아이가 해설부터 찾지 않고, 자기 계산을 한 줄씩 다시 따라가고 있더라고요. 어디를 먼저 볼지 정해 둔 듯 계산한 부분을 차례로 살펴보는 모습이었어요. 예전에는 풀이가 맞았는지만 빨리 확인하려고 답지부터 펼치는 경우가 많았거든요. 궁동 수학과외 이야기를 나누던 때라 저도 집에서 어떤 식으로 문제를 보는지 유심히 지켜보게 됐습니다. 수학 수행평가를 준비하던 밤에도 비슷한 장면을 보게 됐어요. 답지를 옆에 두고도 바로 열지 않은 채, 앞에서 적어 둔 계산을 한 줄씩 거꾸로 되짚고 있었습니다. 정답만 맞는지 확인하던 모습과 달리, 자기 풀이에서 다시 살펴볼 대상을 먼저 찾아보고 있더라고요.

★★★★☆학부모 후기

문제집을 옆으로 밀어두려던 순간에 아이가 손을 멈췄어요. 답을 맞혔는지부터 볼 줄 알았는데, 문제에 적힌 단위와 구하는 범위가 풀이에 제대로 반영됐는지 먼저 살피더라고요. 따로 확인하라고 한 것도 아니어서 저도 잠깐 지켜봤습니다. 집에서 궁동 수학과외 이야기를 나누던 때만 해도 한 번 풀어본 자료 중 무엇을 다시 볼지 스스로 고르는 모습은 거의 없었거든요. 그런데 최근에는 답을 써놓고 그냥 넘기지 않고, 문제에서 빠뜨린 조건이 없는지 한 번 더 짚고 넘어가고 있어요. 새로운 조건이 붙은 문제를 읽을 때도 같은 장면이 보이더라고요. 답을 적은 뒤 범위와 조건만 다시 살펴본 다음, 필요한 부분에만 짧게 표시하더라고요. 확인할 내용을 이것저것 늘어놓지 않고 한 군데에 집중하는 모습이었습니다.

★★★★★학부모 후기

가방에서 시험지를 꺼내 한 장씩 정리하던 아이가 틀린 문제를 따로 유형별로 옮기지 않고, 시험지 여백에 틀린 이유만 짧게 적어두고 있더라고요. 어디서 막혔는지 다시 찾으려고 한 흔적이 보여서 잠깐 옆에서 지켜보게 됐어요. 전에는 답이 맞으면 중간에 어떤 과정을 거쳤는지는 거의 들여다보지 않았거든요. 그런데 이번에는 맞고 틀린 결과만 보는 대신, 시험지 원본에서 다시 확인할 부분을 바로 찾을 수 있게 표시해두었습니다. 궁동 수학과외를 알아보던 때에도 이런 식으로 집에서 문제를 정리하는 모습이 눈에 띄었어요. 새 문제집을 펼쳐 첫 문제를 풀 때도 풀이를 마친 뒤 원래 시험지에 틀린 이유를 짧게 남겼어요. 이미 확인한 부분과 다시 볼 곳을 나눠 놓아서, 어느 문제를 다시 살펴야 하는지 한눈에 보였습니다.

★★★★★학부모 후기

궁동에서 수학 과외를 시작하고 시험 범위를 처음 확인하던 날, 아이가 모르는 부분을 숨기지 않고 말하는 모습이 기억에 남았습니다. 평일 저녁 숙제에서도 틀린 문제를 다시 펼쳐 보자 선생님은 생각할 시간을 충분히 주고 재촉하지 않으셨습니다. 수업이 있는 날을 예전처럼 부담스러워하지 않는 변화가 성적보다 먼저 보여 좋게 느껴집니다.

★★★★★학부모 후기

학교 숙제와 과외 숙제가 겹친 날에도 아이가 수업 시간을 피하지 않고 궁동 선생님과 차분히 시작하는 모습이 기억에 남았습니다. 선생님은 아이가 완벽하게 준비하려는 마음을 알아주고 쉬운 문제부터 풀게 하며, 그날 할 일과 다음에 볼 내용을 나누어 부담을 줄여 주셨습니다. 틀린 답을 보고도 바로 포기하지 않고 한 번 더 살펴보는 변화가 보여 부모로서 안심이 됐습니다.

★★★★★학부모 후기

처음에는 궁동에서 수학 과외를 시작해도 질문을 잘 못 하고, 계산이 조금만 복잡하면 어렵다며 문제를 넘기기 일쑤였습니다. 선생님은 맞힌 문제도 제 말로 다시 설명해 보게 하면서 자연스럽게 대화를 이끌었고, 공책에 오답과 숙제 과정을 함께 정리해 주셨습니다. 학교 과제와 시험 일정을 살펴 수업량과 속도를 조절해 주신 덕분에 이제는 모르는 문제도 피하지 않고 먼저 물어보려 합니다.

★★★★★학부모 후기