궁동 고2수학과외







3사분면에서 시작된 부호 판단의 오류
학생의 풀이 기록에는 “3사분면에서는 x와 y가 모두 음수이므로 탄젠트도 음수”라고 적혀 있었다. 그러나 탄젠트는 좌표의 부호를 따로 보는 것이 아니라 비의 부호를 판단해야 한다.
좌표로 다시 확인하기
각을 나타내는 점의 좌표를 라고 하면, 3사분면에서는
,
이다. 탄젠트는
로 나타나므로, 음수를 음수로 나누면 양수가 된다.
sin과 cos에서 tan의 부호를 판정하는 법
3사분면에서는 와 가 모두 음수이다. 따라서
에서 음수와 음수의 비가 되어 탄젠트는 양수이다.
사분면별 부호표
| 사분면 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 1사분면 | + | + | + |
| 2사분면 | + | − | − |
| 3사분면 | − | − | + |
| 4사분면 | − | + | − |
새 문제에 적용하기
sin의 부호가 음수이고 cos의 부호도 음수라면 두 값이 동시에 음수인 3사분면을 선택한다. 이때 탄젠트는 반드시 양수이다. 반대로 sin은 음수이고 tan은 양수라는 조건만 주어져도 sin과 cos의 비가 양수가 되어 cos 역시 음수이므로 3사분면임을 알 수 있다.
이처럼 대전과학고등학교나 유성고등학교 관련 학습에서 사분면 문제를 만났을 때도 좌표 자체가 아니라 의 부호를 확인하면 같은 오류를 피할 수 있다. 궁동과외에서는 부호표를 외우는 데서 그치지 않고 각 부호가 만들어지는 비의 구조까지 점검하는 방식으로 풀이를 교정한다.
최종 검증
3사분면은 , 이므로
이다. 따라서 “3사분면에서 탄젠트가 양수인 이유”에 대한 올바른 답은 x와 y가 모두 음수이므로 음수와 음수의 비가 양수가 되기 때문이다.