무실지구 고2수학과외







모서리에서 멈춘 미분계수
학생의 풀이 기록에는 “연속이므로 미분계수가 존재한다”라고 적혀 있었다. 하지만 연속과 미분가능성은 같은 조건이 아니다. 다음 함수의 그래프에서 그 차이를 확인해 보자.
문제 함수 \(f(x)=|x|\)가 연속이지만 미분계수가 존재하지 않는 점을 구하여라.
그래프에서 먼저 확인하기
\(f(x)=|x|\)의 그래프는 원점에서 방향이 꺾이는 V자 모양이다. \(x=0\)에서 함수값은 \(f(0)=0\)이고, 좌우에서 함수값이 모두 0으로 가까워지므로 연속이다.
좌우 할선 기울기 비교
점 \(x=0\)에서 왼쪽 미분계수는
\[ \lim_{h\to0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{|h|}{h}=-1 \]
오른쪽 미분계수는
\[ \lim_{h\to0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{|h|}{h}=1 \]
좌미분계수와 우미분계수가 서로 다르므로 \(x=0\)에서 미분계수는 존재하지 않는다.
판단 기준 정리
연속성은 그래프가 끊어지지 않는다는 뜻이고, 미분가능성은 한 점에서 좌우 기울기가 같다는 뜻이다. 따라서 이 문제의 답은 \(x=0\)이다. 무실지구과외에서도 절댓값 함수는 연속성과 미분가능성을 구분하는 대표 문제로 다룬다.