무실지구 중1수학과외

좌표의 순서를 바꾸면 사분면도 달라집니다

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한 줄의 순서가 풀이를 바꾼 순간

문제에는 점 A의 좌표가 (-3, 2)로 주어지고, “점 A가 어느 사분면에 있는지 쓰고 좌표의 부호를 설명하라”는 질문이 붙어 있었다. 학생은 공책에 먼저 “x는 2, y는 -3”이라고 적은 뒤, x좌표가 양수이고 y좌표가 음수이므로 제4사분면이라고 답했다.

계산 실수라기보다 최초의 어긋남은 괄호 안 숫자를 읽을 때 x좌표와 y좌표의 순서를 확인하지 않은 데 있었다. 예제에서 보았던 순서를 대충 기억한 채 두 수를 위아래로 바꾸어 적은 것이다. 그래서 뒤의 부호 판단도 함께 달라졌다.

학생이 적은 첫 줄을 지우기보다 좌표축을 다시 그리고, 순서쌍 앞의 수에 x, 뒤의 수에 y를 표시하게 했다.

• (-3, 2)에서 첫 번째 수 -3은 x좌표이다.
• 두 번째 수 2는 y좌표이다.
• x좌표는 음수, y좌표는 양수이다.
• x가 음수이고 y가 양수인 점은 제2사분면에 있다.

그 뒤 학생은 원점을 기준으로 왼쪽으로 3, 위로 2만큼 이동해 점 A를 직접 찍었다. 점이 실제로 제2사분면에 놓이는 것을 확인한 뒤, “좌표의 앞뒤를 바꾸지 않고 x, y 순서대로 읽어야 부호와 사분면을 정할 수 있다”고 자신의 말로 정리했다.

표와 그림으로 바꿔도 같은 판단을 해야 했다

같은 숫자를 다시 제시하지 않고 문제의 모양을 바꾸었다. 이번에는 좌표평면에 점 B가 표시되어 있고, 표의 빈칸에 ‘순서쌍’과 ‘사분면’을 채운 다음, 친구에게 점의 위치를 설명하는 문장을 쓰도록 했다. 그림에서 B는 오른쪽 아래에 있었지만, 학생은 바로 사분면 이름부터 쓰지 않고 축에서 점까지의 방향을 확인했다.

학생은 표를 다음처럼 채웠다.

• x축 방향: 오른쪽이므로 x좌표는 양수
• y축 방향: 아래쪽이므로 y좌표는 음수
• 순서쌍의 형태: (양수, 음수)
• 점의 위치: 제4사분면

이어 “B의 x좌표는 양수이고 y좌표는 음수이므로 제4사분면에 있다”라고 문장으로 답했다. 여기서는 숫자를 보고 사분면을 외운 것이 아니라, 점의 위치에서 부호를 읽고 순서쌍으로 바꾼 것이다. 축 위에 있는 점처럼 x좌표나 y좌표가 0인 경우에는 사분면에 속하지 않는다는 경계도 함께 그림에 표시하게 했다. 다만 이번 B는 축 위의 점이 아니므로 두 좌표 모두 0이 아닌지 확인한 뒤 판단했다.

힌트 없이 좌표를 다시 만들어 검증하다

“x좌표가 음수이고 y좌표가 음수인 점 C를 좌표평면에 표시하고, 순서쌍과 사분면을 설명하라”는 문제였다. 학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 왼쪽과 아래쪽을 표시했다. 그런 다음 임의의 한 점을 찍어 C의 좌표를 (-2, -4)로 정하고, 앞의 수가 x좌표, 뒤의 수가 y좌표라는 기준을 다시 적었다.

학생의 풀이에는 다음 내용이 이어졌다.

“C의 순서쌍은 (-2, -4)이다. 첫 번째 수인 x좌표가 음수라서 왼쪽에 있고, 두 번째 수인 y좌표도 음수라서 아래에 있다. 따라서 C는 제3사분면에 있다. 좌표평면에 점을 찍어 보아 왼쪽 아래에 있으므로 설명과 그림이 일치한다.”

마지막으로 앞선 오류를 스스로 되짚었다. “(-3, 2)를 (2, -3)으로 읽으면 제4사분면이라고 잘못 판단한다. 좌표는 항상 x좌표를 먼저, y좌표를 나중에 읽고, 부호를 확인한 뒤 사분면을 정해야 한다.” 학생은 새 조건에서 순서쌍을 만들고, 부호를 사분면으로 바꾸고, 그 결과를 그림에 다시 찍어 확인했다. 사분면 좌표 부호를 단순히 외운 답이 아니라 순서쌍·점의 위치·사분면 사이의 관계로 재현한 장면이었다.