무실동 중2수학과외

문장 속 가격과 개수를 두 식으로 연결하기

원주대성중학교와 원주삼육중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 구매 상황처럼 보였지만, 학생에게 어려웠던 부분은 계산보다 문장과 식의 대응이었다.

문구점에서 공책 3권과 펜 2자루를 사면 8,400원이고, 공책 1권과 펜 4자루를 사면 7,800원이다. 공책 한 권과 펜 한 자루의 가격을 각각 구하여라.

학생은 공책 가격을 x, 펜 가격을 y로 정하고 문제의 첫 문장을 읽으며 ‘공책 3권, 펜 2자루’에 밑줄을 그었다. 이어서 3x+2y=8400을 적고, 두 번째 문장에서는 공책과 펜의 순서가 바뀐 것처럼 받아들여 4x+y=7800이라고 썼다. 두 식의 계수를 살펴보던 학생은 y를 없애기 위해 첫째 식에 1을 곱하고 둘째 식에 2를 곱했다.

그러나 두 번째 문장의 ‘공책 1권과 펜 4자루’를 읽고도 계수 4를 x에 붙인 것이 출발점이었다. 계산을 이어 가면 두 식에서 같은 미지수를 없애려는 조작은 가능해 보이지만, 애초에 x와 y가 가리키는 물건의 대응이 뒤바뀌어 있었다. 결과가 이상해진 뒤에야 학생은 식을 다시 고치려 했고, 이때 오류가 계산 과정이 아니라 문장 속 물건과 미지수의 연결을 바꿔 읽은 판단에서 시작되었음을 확인했다.

대입할 식을 고르기 전에 대응부터 고정하기

교사는 이미 맞게 쓴 첫 번째 식은 그대로 두고, 두 번째 문장만 다시 읽게 했다. 학생은 식 위에 ‘x=공책’, ‘y=펜’이라고 표시한 뒤, 두 번째 조건의 공책 1권에는 x, 펜 4자루에는 4y를 적었다. 따라서 식은 x+4y=7800이 된다.

이번에는 무작정 대입하지 않고, 두 식에서 y의 계수를 먼저 맞췄다.

• 3x+2y=8400
• x+4y=7800

첫째 식을 2배 하여 6x+4y=16800으로 만든 뒤 둘째 식을 빼면 5x=9000이므로 x=1800이다. 이를 x+4y=7800에 대입하면 4y=6000, y=1500이 된다. 학생은 공책 3권과 펜 2자루에 대입하여 3×1800+2×1500=8400인지 확인하고, 공책 1권과 펜 4자루에도 1800+4×1500=7800을 넣어 두 원래 조건을 모두 검산했다.

문장 대신 표로 제시된 조건

같은 관계를 숫자만 바꾼 문제로 반복하지 않고, 이번에는 판매 기록표를 제시했다.

묶음	노트	볼펜	금액
A	2권	3자루	8100원
B	4권	1자루	8700원

표를 본 학생은 먼저 ‘노트 가격=x, 볼펜 가격=y’라고 적고, 행의 순서를 바꾸지 않은 채 2x+3y=8100, 4x+y=8700으로 옮겼다. 이번에는 y의 계수가 첫째 식에서 3, 둘째 식에서 1이므로 둘째 식을 3배 하여 없앨 수 있다고 설명했다. 계산한 뒤 얻은 값을 표의 A행과 B행에 각각 대입하여 금액이 다시 나오는지 확인했다.

표에서는 가격을 먼저 읽지 않고 각 행의 개수와 금액을 한 식에 묶는 것이 핵심이었다. 학생은 조건의 순서가 ‘금액 먼저, 물건 수 나중’으로 바뀌어도 한 행이 하나의 식이 된다는 점을 말로 설명했다.

힌트 없이 다시 세운 두 식

수업 후반에는 다음처럼 질문 방향을 바꾼 문제를 제시했다.

한 세트에 같은 가격의 파일과 스티커가 들어 있다. 파일 5개와 스티커 2개는 11,600원, 파일 2개와 스티커 5개는 8,900원이다. 파일과 스티커의 가격을 구하고, 파일 1개와 스티커 3개의 가격도 구하여라.

학생은 도움을 기다리지 않고 파일 가격을 x, 스티커 가격을 y로 정했다. 문장 순서가 앞 문제와 달라도 첫 조건을 5x+2y=11600, 둘째 조건을 2x+5y=8900으로 세웠다. 두 식의 y 계수를 맞추기 위해 첫째 식을 5배, 둘째 식을 2배 한 뒤 차를 구했고, 얻은 x와 y를 질문한 묶음에 대입했다.

마지막 검산에서 학생은 단순히 답만 읽지 않았다. “첫 판단은 물건마다 미지수를 하나씩 고정하는 것이고, 각 문장은 개수×가격의 합으로 식이 된다. 계산 뒤에는 두 원래 식과 마지막 질문에 각각 대입해 금액이 맞는지 확인한다”고 설명했다. 이러한 과정을 중심으로 한 무실동중2수학과외에서는 새로운 표현을 만나도 같은 관계를 스스로 복원하는 장면을 확인할 수 있다.